y (P^S^ + P^Sri + PM) d^ = o

ÉQUATIONS d'ÉUUILIBRK. — PRESSIONS 57

32. Transformation de l'équation. — L'expression W, -|- Wo est un polynôme du deuxième degré par rapport

aux neuf dérivées partielles -j- —• Désignons par

ses de'rivées par rapport à ces neuf quantités, de façon que l'on ail :

8(W,+W,) = A5|+B5|+Cô|+- + C"a|

Écrivons, pour simplilier, l'équation des vitesses virtuelles en supposant Sy) ^ BC = o (puisque les déplacements virtuels sont arbitraires, cela est légitime). Nous aurons puisque :

dx dx /(a f + B f + -^ f )"^ ^J-^ +/"-=''» = "

Nous allons transformer la première intégrale en intégrant par parties. Pour cela rappelons une formule importante en physique mathématique : soient F une fonction quelconque, dx un élément de volume pris à l'intérieur d'une surface fermée, diù un élément de cette surface, l, m, n les cosinus directeurs de la normale à cet élément, dirigée vers l'extérieur; on a :

o8 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ

En posant F r= UV celte formule devient :

I dx J I dx

On a donc:

dll

A -r- c/t = / lkl\di3 dx J

^y^dk.

^ dx

dx,

et par suite:

dx dy ' dz j

L'équation des vitesses virtuelles devient alors : J{}d -}- Bm + Cw + P^) lldià

Cette équation devant avoir lieu quels que soient les déplacements, on en conclut:

A^ -f- Bm + C?2 -f P^ = o

ç/A(^Bç/G

dx dy dz ^ ~"

la première équation devant être satisfaite sur toute la surface du corps et la seconde dans tout le volume.

ÉQUATIONS d'ÉQUILIBRK. — PRESSIONS 59

On obtiendrait de même:

A7 -f- Bm -\- O'/i + Py = o A'7 -f B"m -f C'n -f P, = o

dX , dW , dC

T + -, hl Yz=o

dx dy dz

d\" j^fJ^x^lSL. 7 dx dy ' dz ''

33. On peut se demander ce que deviennent nos équations d'équilibre quand on suppose que les molécules du corps élastique, au lieu d'être libres, sont soumises à des liaisons. Supposons, pour simplifier, qu'il y ait une seule équation de liaison

J dépendra des dérivées partielles de ;, v], ^; nous pourrons supposer, par exemple, qu'il dépend seulement des neuf dérivées du premier ordre, et que c'est une fonction linéaire de ces neuf dérivées.

L'équation d'équilibre du N" 31 s'écrivait :

(i) Jl (W, + Wo) dT -i-fiXZl + Y?yf^-{-ZK) dx