J(P^8; + P,/>/i + P^Sg rfco = o
et dans le cas où les molécules étaient supposées libres, elle devait être satisfaite quels que soient les accroissemenls virtuels 8?, Sy), oC.
S'il y a une liaison, cette équation devra encore être satisfaite mais seulement quand les accroissements virtuels Sç, Sv), oC
seront coni'patihles avec la liaison c'esl-à-dire tels que:
On aura alors, quel que soit 1 :
(2) Ji [W, -f- W^ + AJ) ch -\-f[Xtl + Yoïi -f ZoC) dh f{PJl -f Py57) + P,û!;) do, = 0
Les principes du calcul des variations nous apprennent alors que Ton peut trouver une fonction À de x, y, z telle que l'équation (2) soit satisfaite quels que soient les accroissements virtuels o^, 8t,. oÇ et quand même ils ne seraient pas compatibles avec la liaison.
J'ajoute que X dépend de x, y, z, mais non de l, vi, ^, de telle façon que oX est toujours nul.
L'équation (2) pourrait ensuite être transformée comme
l'équation (1) l'a été dans le N" 32. Dans ce N" nous avons
posé :
A = fW^^), ^,^
d~ dx
Nous poserons de même ici :
dx
Des raisonnements tout pareils à ceux du N° 32 nous conduiraient alors aux mêmes équations d'équilibre :
A^ + Bm + Cn + P^ = o
T" H — 'i — r ^~ == ^^. etc.
dx dy ^ dz '
ÉQUATIONS D'ÉQUILIimE. — PRESSIONS 61
Il suffit donc pour obtenir les nouvelles équations d'équilibre de remplacer dans les anciennes W, -f- W-, par:
Nous avons alors une foncti.)n inconnue de plus qui est X, mais en revanche nous avons une équation de plus qui est:
Jr=0.
Il est alors aisé de comprendre que nous ne restreignons pas la généralité en supposant qu'il n'y a pas de liaison. En eiïcl, si nous avons une équation de liaison
nous arrivons au même résultat en supprimant celle équation et en remplaçant W, + W, par W, -f W. + ^'J^ ^^ ^^'^^^ un nombre très grand. Pour que l'énergie reste Unie, il faut d'abord que J soit très petit, d'où l'on déduit :
D'autre part, il vient:
ou en posant 2AJ = À :
, d (W, + W., + XJi
d — dx
ce qui est l'équation trouvée plus haut. Le nombre h est très grand, J très petit et le produit -2AJ = X est fini.
Le cas particulier le plus intéressant est celui des corps incompressibles. Dans ce cas J =: 6 (Cf. Théorie mathématique de la Lumière. Théorie de la double Réfraction de Fresnel, page 230).
34. l^es théories qui précèdent ont un inconvénient grave: elles reposent sur un certain nombre d'hypothèses moléculaires qui peuvent être révoquées en doute. Il n'en est pas de même des théories fondées sur la thermodynamique, et qui d'ailleurs conduisent aux mêmes équations.
Supposons l'équilibre atteint et considérons une déformation virtuelle quelconque, telle que les composantes \, yj, Z, du déplacement subissent des accroissements virtuels 8;, St], IX,. D'après le principe de la conservation de l'énergie, l'accroissement 813 de l'énergie interne sera égal au travail 8V des forces extérieures, plus la chaleur 8Q empruntée au dehors, multipliée par l'équivalent mécanique de la chaleur. J'écris :
