EST

U = fv^dT,

W étant une fonction dépendant seulement de la déformation subie par le petit volume d~.

Décomposons à son tour l'élément dz en volumes encore plus petits. Soit R le carré de la distance de deux de ces volumes dans l'état d'équilibre naturel, R -|- p ce que devient ce carré dans Félat d'équilibre contraint. 11 est clair que W doit être une fonction des p, et comme ces quantités sont très petites, il est naturel de supposer que W est développable suivant les puissances des p; nous négligerons d'ailleurs.comme nous l'avons fait jusqu'ici, les cubes de ces quantités. On reconnaîtrait alors par un raisonnement tout semblable à

celui des numéros pre'cédenls et en faisant attention que les dimensions de l'élément di sont très petites, que:

W^ et Wo étant deux polynômes homogènes, le premier linéaire, le second quadratique par rapport aux neuf dérivées partielles de ;, tj, ^ par rapport à x, y et z, et de la forme indiquée plus haut.

Nous retrouvons alors (en remplaçant oY et EST — U pur leurs valeurs) l'cîquation duN° 31.

A (W< + W2] ch +f{Xol -f- YB-ri -\- ZoO ch

-i-f{PJÂ 4- Py3-^ -I- P.oVj du> = o.

Ces raisonnements, qui ne s'appuient que sur les principes fondamentaux de la thermodynamique, conduisent donc aux mêmes équations d'équilibre que les hypothèses moléculaires ordinairement admises. La concordance des résultats expérimentaux avec ces équations ne peut donc être invoquée comme une preuve de la légitimité de ces hypothèses.

35. Pressions. — Nous avons supposé les intégrations étendues au corps tout entier; ce fait ne joue aucun rôle dans les démonstrations ; nous aurions trouvé les mêmes équations en considérant une portion seulement du corps élastique. Soit S la surface fermée qui limite cette portion; si nous supprimons toutes les molécules extérieures à S et que nous appliquions à tous les éléments de S] des forces

P;cC/w, P«f^co, Pzdfjy,

ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 65

l'équilibre ne sera pas Iroublé si nous supposons P^, Py, P. déterminés par les équations :

M -f Bm 4- G« + P^ = o A'l-\-B'm -f-C'n + P,, = o A'7+B"m + G"n + P, = o

Z, 771, n désignant maintenant les cosinus directeurs de la normale à l'élément c/w de S. Les quantités P^;, Py, P. définies ainsi sont dites composantes de la pression par unité de surface.

Nous allons les étudier d'abord dans l'état d'équililire naturel.

Cherchons en premier lieu les pressions sur les éléments perpendiculaires aux axes de coordonnées ; si on suppose dm perpendiculaire à ox. on a :

et par suite :

Px=--A.

— A est donc la composante normale de la pression qui s'exerce sur un élément perpendiculaire à ox, — A' et — A" en sont les composantes tangentielles. Nous connaissons maintenant l'interprétation physique des neuf quantités

A, G"; nous allons indiquer des relations importantes

qu'elles vérifient dans certains cas.

Nous avons posé :

d — dx

nous écrirons :

dW^ d\Yo

dx dx

Les A, sont des constantes, les k^ sont homogènes et du premier degré par rapport aux neuf dérivées. W^ ne dépend que des a et p, il en résulte :

d^^ dw, d^ (r^

dij dxj

r/W) çfVV, d^ ^

dx dx

car [ig = -p -j- -7-^ et les autres a et p ne dépendent pas de ces deux dérivées. On a donc les relations :

c'est-à-dire que le déterminant des A forme un tableau symétrique.

Pour qu'il en soit de même du déterminant des A^, il faut que W2 ne dépende que des a et [3, c'est-à-dire que les pol}'-

nômes H^a;? disparaissent dans son expression, ce qui

exige que les forces extérieures soient nulles dans l'état d'équilibre naturel. Nous ne faisons pas en général celte hypothèse; le déterminant des Ao, et par suite celui des A, n'est donc pas en général symétrique.

Mais il l'est toujours dans l'état d'équilibre naturel, car les

ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS (57

neuf dérivées partielles sont alors nulles; il en est de même des A^, qui sont des fonctions linéaires et homogènes de ces neuf dérivées, et les A se réduisent aux A,. On a donc dans l'état d'équilibre naturel :

36. Démonstrations élémentaires. — On peut démontrer facileiiuMit ces égalités en cherchant les conditions d'équilibre d'un parallélipipède infiniment petit, ayant ses arêtes parallèles aux axes.

Ecrivons que la somme des moments de toutes les forces par rapport à un axe parallèle à oz et passant par le centre du parallélipipède est nulle, en ne conservant que les termes du troisième ordre. Le bras de levier sera infiniment petit du premier ordre au moins ; nous devons donc négliger les forces du troisième ordre, par exemple la force Xdx, Yd-, Zdx.

Parmi les pressions (jiii sont du t^econd ordre, il n'y a pas à tenir compte de celles qui rencontrent oz ou lui sont parallèles; en les éliminant, il ne reste que les composantes parallèles à 03/ sur les faces perpendiculaires à ox et les composantes parallèles à ox sur les faces perpendiculaires à oy. On a ainsi deux couples; en écrivant qu'ils se font équilibre, on obtient :

et on aurait de même les autres égalités.

Nous emploierons désormais les notations de Lamé ; c'està-dire nous posons :

A = — N, B' = — No C" = — N3 B" = C' = — T, A" = Gz=-.~T, A' = B = - T,

et les équations d'équilibre s'écrivent:

P^ = IN^ + mTg -I- nTo P^ = IT, -I- mN, + nT,

/ ^ I ^3 4 ^2 ^ X — o l cte dy dz

j rf.7; ^ dy ^ dz ^

, dx dy"^ dz

l^ m, w sont les cosinus directeurs de la normale extérieure, de sorte que, lorsque les quantités N^, N2, N3 sont positives, ce sont non des pressions, mais des tensions.

On peut démontrer ces équations d'une manière élémentaire.

Considérons d'abord un tétraèdre Ox\BC, dont les arêtes oA, oB, oG sont parallèles aux axes; soient (ico la surface de ABC, et l, m, n les cosinus directeurs de la normale extérieure ; les surfaces de oBG, oCA, oAB sont Ww, mc^w, ndiù\ en écrivant que la somme des projections des forces appliquées au tétraèdre est nulle, et en négligeant la force extérieure qui est de l'ordre du volume, c'est-à-dire du troisième ordre, on a :

P^c^co — N^/f/co — TgJWf/oj — T^ndiû := 0

c'est-à-dire :

Pour le second groupe d'équations, considérons unparallélipipède,et écrivons que la somme algébrique des projections des forces sur oœ est nulle. Pour l'une des faces perpendicu-

ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 69

laires à ox, on a — ^^dydz el ?ur l'autre

^{^.V^dxyydz,

car les forces sont appliquées aux centres de gravité des faces. On obtient ainsi :

Xdz -f -77 dx.dydz -\- ~ ây.dzdx +~7^ dz.dxdy = o; c(%xy ^^y ctz

et puisque d-z = dxdydz on a précisément l'équation qu'il s'agit de démontrer.

Cherchons les expressions des N et des T.

W, est homogène et du premier degré par rapport aux a et aux p, et l'on a :

Donc

^'.^-EIp.'

Si l'on se rappelle l'expression de 0, en fonction des a et des S, on voit que le coefficient de a^ est

et celui de S^

Nous avons donc :

N,^T = - 2^^^^ Dx^

TA=-2i:5^%D

37. Ellipsoïde des pressions. — Soit M un point de coordonnées a?, y, z; M' un point voisin ce -\- dx, y + dy, z -f- dz. Posons/.

'^^dx'^-\-^^dy^-{-'^^dz^-\-^'ï^dydz^'i'V^Jzdx-^^'ï^dœdy=z^,

t étant une constante quelconque. Le point M' sera sur un ellipsoïde que l'on appelle ellipsoïde des pressions relatif au point M.

Les composantes de la pression par unité de surface sur un élément plan dont la normale a pour cosinus directeurs a, ji, Y, sont :

N^oc + T38 + T^Y

Tsoc + Nop + T.Y

V + T^p + NsY

Sa direction est le diamètre conjugué du plan par rapport à l'ellipsoïde des pressions. Cet ellipsoïde a donc une signification physique, il est par suite indépendant du choix des axes.

Dans le cas particulier où le corps est homogène et isotrope et les forces extérieures nulles dans l'état d'équilibre naturel, on peut donner à son équation une forme simple, sur laquelle cette dernière propriété est en évidence.

ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 71

On a alors :

W. =:: — X ^ — aH

Soit MM' = f/S ; après le déplacement, MM' devient M<M; = c/S + é/a.

Le rapport — est infiniment petit du même ordre de grandeur que ?, -ri, !I;nous négligerons son carré. Nous avons alors

:/S2 = dx'^ -f chf- -|- dz^d^di = dxd^ -\- dydt\ -j- dzdt

et l'équation de l'ellipsoïde des pressions devient

+ 2,(grf.rfy + grf^/^+|rfyrf.) +

et sous cette forme, d'ailleurs utile et intéressante en ellemême, on voit bien qu'il ne dépend pas du choix des axes.

38. Autres définitions de la pression. — On dit quelquefois pour définir la pression : soit une surface S intérieure au corps élastique ; supprimons la partie du corps extérieure

à S ; la pression sur un élément dui de S est la force qu'il faut lui appliquer pour remplacer l'aclion de la partie supprimée. Cette définition a un double défaut:

i° 11 n'est pas évident qu'il est possible de rétablir l'équilibre en appliquant à chaque élément dw de S une force auxiliaire (car on ne considère pas des corps rigides comme en mécanique rationnelle). Il n'est surtout pas évident que, si l'on considère deux surfaces tangentes S et S', la définition donnera la même valeur pour la pression sur l'élément de contact c/w, qu'on le suppose appartenir à H ou à S'; • 2° En admettant qu'il soit possible de rétablir l'équilibre par ces forces, il faudrait encore prouver que cela n'est possible que d'une seule manière ; sans quoi, les pressions ne seraient pas définies.

39. Définitions de Navier et de Lamé. — Considérons un élément de surface dio et deux molécules m^ et m.^ situées de part et d'autre de cet élément, de telle façon que la droite qui les joint perce l'élément dio.

Navier appelle pression sur l'élément dui, la résultante des actions de toutes les molécules telles que m^ sur toutes les molécules telles que yn^i ces forces étant supposées transportées au centre de gravité de l'élément. L'élément appartenant à une surface fermée, on considère l'action des molécules extérieures sur les molécules intérieures.

Lamé procède un peu différemment; il prolonge le plan de ddi et considère le cylindre droit ayant pour base d(û et situé d'un côté de ce plan. Soit m. une molécule de ce cylindre; m^, une molécule située au-dessus du plan ; on composera toutes les actions telles que celle de m^ sur m^.

ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 73

On pourrait aussi considérer un cylindre droit indéfini, divisé en deux par l'élément diù, et composer les actions des molécules d'une moitié du cylindre sur celles de laulre moitié.

Ainsi, sur la figure, j'ai représenté en ab l'élément c/w, en xy le plan de cet élément prolongé, en ab'd'h" le cylindre droit qui a cet élément pour base.

Le couple m^m.^ figure dans les trois définitions, le couple afi dans celles de Navier et de Lamé, mais non dans la troi-

- "ÏM

sième, le couple yo dans celle de Lamé, mais non dans celle de Navier, le couple zX, dans celle de Navier, mais non dans celle de Lamé. J'ajoute d'ailleurs que, pour qu'un seul couple de molécules puisse figurer dans la troisième définition, il faut qu'il figure dans les deux autres.

Ces trois définitions sont en apparence très différentes ; il est cependant aisé de voir qu'elles reviennent au même quand on suppose l'élément cIm très grand par rapport au rayon d'activité moléculaire.

Observons en effet que les distances tiifin^^ x^, y^» «^ doivent être plus petites que ce rayon.

Or parmi les couples de molécules que Ton considère il y en a un très grand nombre comme m^m2 qui sont communs aux trois définitions. Les autres comme a8, yB, eÇ sont tels que la distance de chacune des molécules qui les composent au périmètre de cho est moindre que le raj^on d'activité moléculaire ; leur nombre est donc très petit par rapport au nombre total, et par suite la valeur obtenue pour la pression est la même quelle que soit celle de ces définitions qu'on adopte, puisque les termes qui figurent dans Tune et non dans l'autre sont toujours négligeables.

Nous allons calculer cette valeur en partant de la troisième définition, et vérifier qu'elle est identique avec celle que nous avons trouvée en appliquant le principe des vitesses virtuelles.

Désignons par N,'c?(o, T^diù, Tj^w ses composantes sur un élément doi perpendiculaire à ox. L'attraction de deux molécules m^ et m^ est avec les notations adoptées

les cosinus directeurs de m^m, sont

Dx Dy Bz v/R ' VR ' VR

On a donc

".'"" = - '-El f-

ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 75

les sommations s' étendant aux couple? de molécules spécifiés dans la définition; c'est-à-dire que pour la troisième définition il faut prendre pour m^ toutes les molécules situées dans le cylindre droit de base o?co, d'un côté de dio et pour m.^ les molécules situées dans le même cylindre de Tanlre côté de d(o. Considérons la portion de ce cylindre renfermée entre deux sections droites très voisines, de distance h, comprenant entre elles l'élément db>. Soient :

X ^ Xq -\- h les équations de ces sections droites ;

l'équation du plan dw ; et enfin x et .-r -|- D^ les abscisses de w, et ^2 ; on a :

(a) X <C. x' <C X -\- Dx

Nous pouvons donc poser :

la sommation étant étendue à tous les couples de molécules comprises à l'intérieur de l'élément de volume dr = hdoi ; mais e étant égal à un lorsque les inégalités (a) sont vérifiées, et à zéro dans le cas contraire. Multiplions par dx' et intégrons de Xq h. Xq -\- h; il viendra

%ro -(- /( /iTo + h

Bxdx'.

Nous supposerons dx assez petit pour qu'à l'intérieur de cet élément le corps puisse être considéré comme homogène. N| est alors une constante, et on a

Tn ; diodœ' = N ; c/« fdœ' = N ; /ïc^co = N [ t/x. On a ensuite :

ï.To 4 h /^xo -T Dx

£ -77: uxdx = I -777 Dxdx = -77; Dx-, dR ! cm du.

car £ est nul lorsque x' n'est pas compris entre x et x -\~ hx

et égal à un dans le cas contraire.

On suppose, bien entendu, que m^ et ma sont toutes deux à

l'intérieur de l'élément dz ; mais les couples de molécules

comme m[m.2, m,'[ml pour lesquels cette condition n'est pas réalisée sont beaucoup moins nombreux que les autres et par suite négligeables. On a donc:

Donc :

ce qui est bien l'égalité que nous

avions en vue.

Sur la figure a'b'a"b" représente

notre cylindre indéfini, ab une section droite quelconque dia, cdei ef les deux bases du cylindre limité dz.

ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 77

Le couple m^m.2 figure dans la définition de N,' et dans celle de N, ; les couples tnlm.i et m'[m'.2 ne figurent pas dans Ja définition de N, ; mais ils figurent dans celle de N,' quand on suppose que la section droite rfco vient en a^b^ (ou ena^J^)) de manière à couper les droites m ('«w 2 (ou mlm'^) ; cela ne peut avoir lieu que si la distance de la section droite c?co à l'une des bases est plus petite que le rayon d'activité et par conséquent très petite par rapporta la hauteur.

40. Pressions dans l'équilibre contraint. — Nous avons vu qu'on n'a pas en général (lorsque Wj renferme les polynômes II) les égalités

Il semblerait donc que la projection sur l'axe des y de la pression qui s'exerce sur un élément perpendiculaire à ox n'est pas égale à la projection sur ox de la pression qui s'exerce sur un élément perpendiculaire à oy.

Gela parait assez invraisemblable, car cette égalité a lieu dans l'état d'équilibre naturel que nous avons choisi arbitrairement et que rien ne distingue des états d'équilibre que nous appelons contraints. D'autre part, nous en avons donné une démonstration élémentaire, d'ailleurs classique, qui s'applique à tous les cas.

Il est aisé d'expliquer cette apparence de paradoxe. Il n'est pas vrai que — Af/w, — AV/cd, — A^c^w soient les projections sur les axes de la pression sur un élément, daire diù, perpendiculaire à ox ; ce sont les composantes de la pression qui s'exerce sur un élément qui avant la déformation avait pour aire rfco et était perpendiculaire à ox.

La déformation change Taire et la direction de cet élément. Supposons que ce soit un rectangle dydz de côtés parallèles aux axes. Les projections des côtés qui étaient

o, f/y, 0 0, o, dz deviennent

rfÇ ,

dz^

et les projections sur les plans de coordonnées de l'aire du parallélogramme formé par ces deuxdroit es sont, d'après une formule connue,

dy dz

dydz,

dl d\

dy dy

dl d\ ^ dz dz

dydz.

dy "^ dy

de, d'r\ ~dz dz

dydz.

c'est-à-di

re,en négligean

t les carrés des dérivées (sur le plan).

des yz

des zx

— ofco -r

des X

Il est donc facile d'exprimer A, A', A", en fonction des pressions qui s'exercent sur les éléments perpendiculaires aux axes, et que nous continuerons à désigner par N et par T (les

ÉQUATIONS d'équilibre. — rRESSIONS 79

pressions tangenlielles étant égales deux à deux d'après la démonstration élémentaire qui a été donnée). Nous aurons :

de, I <^;\ rr 0?r, ^^ dr\

« = ^.('+^ + 5,-^.5-^' si

On voit bien que l'on n'a pas A' =: B.

On pourrait vérifier ces relations en calculant directement A. A'... d'une part, les N et les T d'autre part. Dans l'état d'équilibre naturel on avait :

Pour appliquer cette formule dans l'état d'équilibre contraint, il faut y remplacer x, y, z par x -\-\, y ■\- -c^, z -\- ^.

dF d-z devient alors d-z (1 -f- &) ! "7^ est une fonclion de R, R' qui

deviennent R -|- p> 1^ +?'••• ! il faut donc remplacer — par

d¥ dF

-+ 3-, en posant:

et négligeant les carrés des p, p'.

On a ainsi :

d-z (1 + 6) De même :

La symétrie de l'expression de Tg par rapport k x ^iy montre bien que les composantes tangentielles sont égales deux à deux.

En efTectuant les calculs et négligeant les carrés des déri-

vées -r ... on obtient N. et T, en fonction linéaire des déridx * ^

vées. Par exemple :

On pourrait calculer aussi A et A'

A.i- ^ '^ (^^' + ^^'•^) '^' dl

On peut ainsi vérifier directement les relations que nous avons écrites; mais cette méthode exige d'assez longs calculs.

41. Lamé et Clebsch ont toujours supposé les forces extérieures nulles dans l'état d'équilibre naturel. Nous ne nous sommes pas borné à ce cas, et cela pour plusieurs raisons.

ÉQUATIONS d'ÉQUIL[BRE. — PRESSIONS 81

D'abord, il y a en optique des théories de la double réfraction, celles de Cauchy et de Fresnel par exemple, où l'on suppose que dans l'état d'équilibre naturel, c'est-à-dire en l'absence île tout mouvement lumineux, l'éther est soumis à une pression (Cf. Théorie Mathématique de la Lumière, page 239).

Ensuite, pour l'étude des gaz, on ne peut pas supposer la pression dans l'état d'équilibre naturel nulle, car on sait que le gaz tendrait à occuper un volume infini.

Une dernière raison est la suivante : la fonction W2 représente l'énergie potentielle interne du corps élastique; en optique, c'est celle de l'éther; dans la théorie électromagnétique d» la lumière, c'est — [x- -j- P'^ -\~ f) (Cf. Electricité et Optique, tome II, page 67), ^,8,7 étant les composantes de la force magnétique. Ceci, traduit en langage optique, fait correspondre à a^ -|- p^ ^ ^2 y^g expression de la forme const. X (p2 -|- q- -\- r-j, p,q,r étant les composantes de la rotation moyenne.

Si donc ou veut conserver l'espoir de rattacher la théorie électromagnétique de la lumière à l'élasticité de l'éther, il faut que Wo puisse prendre la forme {p^ -\- q'- -|- r^) X const., ce qui est impossible en supposant les forces extérieures nulles dans l'état d'équilibre naturel, car alors W^ ne dépend plus que des a et des p.

Néanmoins, dans l'étude des solides, qui est un des buts principaux de la théorie de l'élasticité, on a le droit de supposer la pression dans l'état d'équilibre naturel nulle.

Il y a bien, cependant, la pression atmosphérique, mais elle est très petite et négligeable par rapport aux actions à exercer sur le solide pour obtenir des déformations sensibles.

Nous aurons donc dans les solides une expression deWgne renfermant que les a et les p ; il en résulte

De plus, les pressions dans l'équilibre contraint seront par suite très petites, du même ordre de grandeur que les a et p^ En négligeant les quantités d'ordre supérieur, on aura:

Désormais, par conséquent, nous nous bornerons au cas de V = 0, et nous supposerons de plus le corps isotrope.