OU

^, 7), l, sont les projections du déplacement d'une molécule sur les axes de coordonnées ; Il -\- m-f\ -j- nZ, est la projection de ce déplacement sur la normale à la surface (le sens positif étant celui de la normale extérieure] ; nous le désignerons par V (il ne peut pas y avoir de confusion avec le sens tout différent dans lequel cette lettre a été employée). On a alors

dx dx dx dx

en spécifiant bien que pour prendre la dérivée — on considère /, m, n comme des constantes, c'est-à-dire la normale comme un axe fixe, lorsqu'on passe k un point voisin (qui n'est d'ailleurs pas sur la surface) de coordonnées x -\- dx,

d En désignant par -tt: la dérivée d'une fonction estimée sui-

vant la normale, on a d'ailleurs

dl dl r^ (/;

dx ' dy ' dz dN

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRR 85 Los équations à la surface prennent alors la forme simple

1 vy "'■>/

On peut en déduire la formule

dP:, dp, dP.^ dO

qui se rapproche par sa forme des équations que nous allons obtenir pour l'équilibre intérieur.

Nous avions :

g/N, ^T-; dT.-,

dx dy ~^ dz "^ '

«07 dy ' dz '

dx dy dz

^ dj) .>, l^^i^, ^£ii,i^ dx dx "' dxP- dx~^ ^' dx dx "'" ' ' dx^

<^ d (^jL^f\\ A ^h I ^^Ç

<^y dy ' \dy dx) ^' dx dy ' ' dy'^

dz ~ dz ''■ [dx + dz - î"- c'a; f/^ + '"■ r/^2

Donc

Les équations de l'équilibre intérieur deviennent par suite ;

Ce sont trois équations aux dérivées partielles du second ordre qui, avec les conditions aux limites exprimées par les équations à la surface (I), doivent déterminer complètement l, Tj, Ç. Mais l'intégration générale de ces équations présente des difficultés insurmontables. On peut seulement traiter quelques cas particulièrement simples.

44. Cas d'un milieu indéfini. — Supposons que le milieu élastique soit indéfini et que X, Y, Z s'annulent à l'infini ; l, 'I], Ç s'annulent aussi à l'infini et les conditions aux limites disparaissent.

Il suffit alors de trouver pour le système (II) des intégrales l, -^, C s'annulant à l'infini.

Pour cela difièrencions la première des équations (II) par rapport à a;, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à z, et ajoutons.

11 vient :

^ "T V-) [^^2 -r ^iy2 -r ^^2 j -r !^-^ \^^^ '^ dy'^ dz)

ç/Y ^\ '^'dy'^ dz)

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRE 87

6 satisfait d'ailleurs aux conditions de Dirichlet.

C'est donc le potentiel d'une matière attirante dont la densité serait

P "~ 4:: (À 4- 2a) \dx ^~ (il/ '^ Iz)

car ce potentiel satisfait à l'équation de Poisson

AO 1= — 47rp.

Connaissant 0, on a

et on obtient ; de la même manière.

Cette solution suppose essentiellement

X + -ia ^ O a 7^ 0

Pour les corps solides X et [x étant positifs, ces conditions sont satisfaites d'elles-mêmes : l'hypothèse ij. = o correspond aux fluides parfaits ; les équations prennent alors une forme plus simple et toute ^difTérente et leur étude ne fait pas partie de l'objet de ce cours.

L'hypothèse

X -j- 2a = 0 est plus intéressante ; c'est en eflet celle que Fresnel a faite

implicitement sur l'éther lumineux en admettant qu'il est incapable de transmettre les vibrations longitudinales. La combinaison considérée des trois équations se réduit alors à

^ çA' r/Z dx dy dz

Il faut supposer que les forces vérifient cette relation; sans quoi l'équilibre est impossible. Lorsque cette condition est remplie, les trois équations se réduisent à deux; on peut .prendre 6 arbitrairement et on déduit des trois équations les valeurs correspondantes de ?, t], ^.

On peut donc toujours trouver des fonctions satisfaisant aux équations de l'élasticité à l'intérieur du corps élastique ; mais elles ne vérifient pas, en général, les équations à la surface.

45. On peut se servir de ce résultat pour simplifier, au moins en apparence, le problème général de l'élasticité ; mais la solution en reste également difficile.

Nous allons montrer qu'on peut, sans allérer en rien la généralité, supposer ou bien que X, Y, Z sont nuls, ou bien que Pa;, Py, P; sont nuls. En d'autres termes, on peut ramener le problème général soit au cas où les forces superficielles existent seules, soit au cas où elles n'existent pas.

Montrons d'abord que l'on peut toujours supposer X, Y, Z nuls.

Pour cela posons

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRE b9

et d'une manière générale, F élanl une fonction linéaire quelconque de ç, r,, C ou de leurs dérivées

F' ou F" étant ce que devient F quand on y remplace ^, 7i,Ç par ç , Y) , C ou ; , 7] , C .

Les équations deviennent alors

et:

Nous savons trouver des fonctions ;", -ri", C" satisfaisant aux équations :

Si alors nous posons :

Pi = P, — t:/ — t;'w — N>

90 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

Les équations deviendront :

C'est-à-dire que l', tj', C sont les déformations que subirait le corps considéré s'il était soumis seulement à des forces superficielles égales à P^, P^, P^', c'est-à-dire à des fonctions parfaitement déterminées de a;, y, z. Nous aurons ensuite :

On peut de même ramener le problème au cas où les forces superficielles sont nulles ; la marche est la même. Donnons-nous trois fonctions l'\ -ri", C, assujetties à satisfaire aux équations :

Tim

T'in = 0

T'^l — N^'w — T'in

P. — TU — T'im

NU = o

qui doivent être vérifiées seulement à la surface du corps. On peut se donner arbitrairement les fonctions \'\ Tq", C" sur la surface ; leurs dérivées sur la surface et suivant des direc-

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'kQUILIBRE i'I

lions tangentielles sont alors déterminées et ces équalions font connaître leurs de'rivées suivant la normale.

On connaît alors en tous les points de la surface les trois fonctions ;", V, ^" et leur neuf dérivées premières ; ces conditions ne sufTisent évidemment pas pour déterminer ces trois fonctions pour les points intérieurs du corps, mais on peut y satisfaire d'une infinité de manières. Soient donc T, "i", ^' un quelconque des systèmes de trois fonctions qui y satisfont .

Si nous raisonnons comme dans le cas précédent, nous verrons que ;', v)', C' sont les déformations dues à des forces intérieures données X', Y', Z', les forces superficielles P^, P,;, P.' étant nulles.

46. Equilibre d'un parallélipipède dans un cas simple. — Considérons un parallélipipède rectangle et supposons-le soumis uniquement à des forces superficielles. Nous admettrons de plus que sur chaque face la pression est constante en grandeur et en direction et que les pressions sur des faces opposées sont égales, parallèles et de sens contraires.

Supposons les axes parallèles aux arêtes du parallélipipède €t désignons d'une manière générale par P„^f/(ola projection sur un axe ou de la pression qui s'exerce sur un élément din perpendiculaire à un axe ov.

On ne troublera pas l'équilibre en introduisant des liaisons nouvelles; or si on suppose que le parallélipipède devienne un solide invariable, on voit facilement que, pour qu'il soit en équilibre dans sa position actuelle, il faut que l'on ait :

••• uv — i vu

LEÇO.XS SUll LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ

Puisqu'il n'y a pas de forces extérieures non superficielles, les équations d'équilibre sont :

fJ:

dT^ r/N^ r/T, dx dy ^~ dz

o?T, , dT, , c/N, — - -+- — -\~ — - = o dx dy dz

de plus N^ par exemple est constant en tous les points des faces perpendiculaires à ox.

On vérifie ces équations en prenant des constantes pour N^, No' ^3, T^, Tg, T3. Ces constantes sont d'ailleurs égales aux composantes des pressions données :

Pour calculer les a et les p, on a d'abord :

Ni = Xe -f 2aa,-

., ^ N, + N, + N3 3X + 2[jL

On a ainsi les a et les 8 par des formules toujours acceptables, car pour les solides X et [/. sont essentiellement positifs.

Connaissant les a et les p, on peut calculer les dérivées des ;, 7|, Ç ; il y a indétermination puisque l'on a 6 équations pour déterminer 9 dérivées ; de plus, lorsqu'on connaît les dérivées, il entre encore une constante arbitraire dans l'exprès-

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRE 93 sion de chacune des quantités ;, rj, C-

â} (P cP puisque —r-r-r sont des constante^.

^ ^ dx dy dz

Il y a en tout G constantes ; mais, d'après ce que l'on a vu, si les a et les 6 sont déterminés, ces diverses solutions correspondent à une même déformation, suivie d'un déplacement quelconque.

D'une manière générale, si on avait un corps soumis à une pression normale constante P, on satisfera aux équations en prenant

N, = N, = N3 = P T, = ïo = T3 = o

47, Sphère. — Considérons une sphère à l'intérieur de laquelle se trouve une cavité limitée par une sphère concentrique. Supposons que les forces se réduisent à une pression normale et constante — P^ sur la surface extérieure et une pression normale et constante — P(, sur la surface intérieure (Pq et P, sont positifs, car nous considérons les tensions comme positives et les pressions comme négatives).

Soient: 0 le chaire des sphères, M un point du corps solide, OM = y. On a évi lomment:

car le J''pUcement a lieu d ins la direction du rayon, par

raison de symétrie. On en conclut :

Idx -f- yJi/ -\- ^dz = ^ (/•). 7-dr = d-j^ (r).

Cherchons à déterminer la fonction cp (r) ; on aura :

dœ dy dz

L'équation

devient

= Acp.

P + 2rii;'!'T = o

dx et puisque \ -j- 2ijl n'est pas nul, on a :

-7- A'i ^= o "v Ai- = 0 -T- Aœi = O

acC ' dy ' «4r

Donc :

Acp = C.

D'autre part cp n'est fonction que de r\ on a donc :

Cr2 a

cp n'intervenant que par ses dérivées, il est inutile d'ajouter

une constante arbitraire.

Il reste à déterminer « et G ; pour cela il faut se servir des

conditions données à la surface. Soient r(, le rayon de la sphère

intérieure,?-, celui de la sphère extérieure; considérons les

points

Mq a; = ?'(j y = z = 0

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRE 95

et écrivons que les pressions en ces points sont respectivement Pq et P^, Les pressions sont égales à N, puisque les éléments pressés sont normaux à ox et que la pression est normale. Or on a :

N, = X5 + 2. f^ En faisant x =z r ^ r^, puis x = r = r^ on a :

(x + |)c + tf=P,

On tire de ces équations les valeurs de a et G. Le problème est donc complètement résolu.