CHAPITRE V

PETITS MOUVEMKiNTS D'UN CORPS ÉLASTIQUE

48. Nous ne nous sommes occupés jusqu'ici que du problème statique, c'est-à-dire de l'état d'équilibre d'un corps élastique soumis à des forces données. Nous allons maintenant chercher quels sont les mouvements que peuvent prendre les molécules d'un pareil corps, dévié de sa position d'équilibre et soustrait à toute force extérieure.

En appliquant le principe de d'Alembert, on voit que les forces extérieures se réduisent aux forces d'inertie, il faut donc

remplacer \dx par — — dm, dm étant la masse de l'élément

de volume dx. On a donc dm = pcZr, p étant la densité ; et les équations du mouvement sont

df) . ^, d^l

dx ' ' ' ^ dt-

(^ + ri -.. + ;"^? = V :57»

PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE 97

On a trois équations aux dérivées partielles du second ordre pour déterminer ;, T|, ^. De plus, pour / = o, ç, tj, Ç sont des fonctions données de a;, y, z, à l'intérieur du corps. Il en est de même de leurs dérivées premières par rapport à t. Il reste à connaître les conditions à la surface. Si l'on suppose qu'il n'y a pas de forces extérieures superficielles, la pression sur tous les éléments superficiels des corps doit être nulle, ce qui donne les équations

Ce n'est pas toujours ainsi que le problème se présente; par exemple, si l'on suppose que le corps est encastré dans un solide invariable, il se produit des réactions; la pression n'est pas nulle sur la partie encastrée ; mais les déplacements ;, -^i, C sont nuls.

Kn pratique, le corps est encastré dans un autre corps lui-même élastique, et c'est beaucoup plus complexe.

Nous n'avons pas tenu compte de la pression atmosphérique ; elle est en général négligeable par rapport aux forces qui produisent des déformations appréciables. Cependant, par exemple, pour un diapason qui vibre, elle peut avoir pour effet d'amortir les mouvements. Nous traiterons plus loin un problème simple où elle intervient; mais jusqu'à nouvel ordre nous regarderons la pression extérieure comme nulle.