Lemme. — Soient
ç, -/), Ç, trois fonctions quelconques de os, y, z;
S, une surface fermée.
Nous posons :
---i(£+s+l)-^[(D+(:|)^+(l)+lE(i+|)i
dx ^ dxj ^ dz
et nous définissons de même Y, Z, P^, P^, P. par des équations identiques aux équations d'équilibre d'un corps élastique.
Nous prenons trois autres fonctions quelconques?', y;', !;', et nous formons de même les fonctions :
W^, 9', X', Y', Z', Pi, p;, P^
Gela posé, on sait que les équations qui définissent
ont été obtenues en partant de l'équation des vitesses virtuelles :
y8W26?T+J(Xo;-fY8Ti-f Z5C) d'-{-f{PJl-\-P^^-{-PM) ^co=:a
Or:
oW
Zu d\ dx
dx
2j . d\' dx
dx
Cette équation a lieu quels que soient %\, Srp IX,, qui sont arbitraires. Si nous prenons par exemple :
ô^ = ç' l-r\ = r,' oC = C,
l'équation des vitesses virtuelles devient :
+ J(P/;' + P^-ri' + P,;;') ./co = 0.
De même :
+J(p;ç-f-p;-^+Pi(;)c/co=:o.
Mais Wo étant une forme quadratique des neuf dérivées, on a, d'après un théorème connu :
Y^AVo d^ V^^2 i^.
^ d\ dx ^ dl' dx dx dx
BIPARTMENT OF MATHEMATICS UNIVIRSITY OF TORONTO
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉF-ASTIQUE 401
Par suite :
f[(M' + ^r: + Zq - [X'I + Y'-ri + ZX)] d-
-f/[:p.r + Pi/V + p.^') - (p;? + p^. + p^'oi ^^«^ = o-
C'est l'équation que nous avions en vue.
Pour en déduire le théorème de Green. il suffit de faire
On a alors : • X = — uA:
et l'équation devient
/(■A;-U-0*=y(v|,-;i)rf».
51. Application au problème dynamique. — Nous avons supposé les forces superficielles nulles et nous avons admis que les forces extérieures se réduisent aux forces d'inertie ; l'équation devient alors en supprimant le facteur c et remarquant que, les P étant nuls, la seconde intégrale disparaît :
Cette équation est vraie aussi si l'on suppose le corps encastré dans une masse rigide, car :, t,, ^, ;', t;', C sont alors nuls à la surface, et la seconde intégrale disparaît encore.
Considérons deux vibrations simples possibles, c'est-à-dire posons :
/ l = li cosk^t I H' = Ho cosk^t
( s; = ^, COSÂ^^ ( ^' = 'Çi cos/,-o^
l'équation devient :
et, en supposant les vibrations de périodes différentes : On peut supprimer le facteur cosk^l cosk^t et écrire :
Cette équation démontre qu'un corps solide limité n'est pas susceptible de vibrations dont la période varie d'une manière continue ; il ne peut émettre que des harmoniques discrètes (il faut supposer le corps limité pour que les intégrales aient certainement un sens, le théorème ne serait donc plus applicable à un corps indéfini dans un ou plusieurs sens).
En effet, si ^2 pouvait varier d'une manière continue jusqu'à devenir égal à A,, l.-^, Y12, ^2 varieraient aussi d'une manière continue. L'intégrale
serait donc une fonction continue de k^. Or elle est nulle
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE 103
pour toutes les valeurs de k.^ non égales à A, ; elle serait donc nulle pour k.^ = k^ ce qui est absurde puisqu'elle se réduit alors à :
f^A + -^ï + Cf) c/t.
Un corps solide limité ne peut donc pas émettre des vibrations formant, si l'on peut ainsi dire, un spectre continu, mais seulement des vibrations formant un spectre de raies.
52. Cherchons maintenant des mouvements vibratoires simples. Supposons pour simplifier p ^ 1 ; nous avons à intégrer les équations :
avec les conditions à la surface correspondantes.
Mais il est plus simple de considérer l'équation unique qui résulte de l'application du principe des vitesses virtuelles. Le travail des forces intérieures correspondant à des déplacements 5;, o-rj, BÇ est
âWoC^T.
Le travail des forces d'inertie est
dT.
lOi LEÇONS SUR LA THÉORIE DE L ÉLASTICITÉ
Nous avons donc
f h^N,Jh + k^J'^lold' = o.
Il suffit d'ailleurs que les équations soient satisfaites pour ^ =: o ; car si nous supposons ^, tj et ^ proportionnels à cos ki, comme nous l'avons fait plus haut, le premier membre se réduit à cos^kt multiplié par une quantité indépendante de t.
Nous poserons :
et nous remarquerons que l'on a d'après des propriétés connues des formes quadratiques:
De plus:
Ces préliminaires étant établis, soient \, tj, l, trois fonctions de a?, y, z assujetties à vérifier la relation
(oc) /(?2 ^ .^2 ^ ç2) a^ =^^1^1. = i ,
l'intégration étant étendue à tout le volume du corps considéré.
Considérons l'intégrale
,di
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE lOn
W2 étant la fonction de ;, r„ C précédemment définie ; W2 est essentiellement négatif (car nous supposons X et a positifs puisqu'il s'agit d'un corps solide). Celle intégrale a donc un minimum lorsque les fonctions ;, r,, ^ varient de manière à vérifier la relation (a). Supposons les fondions ;, -^i, C choisies de manière à atteindre ce minimum ; d'après les principes du calcul des variations, on a alors :
JoWock 4- /;-'j'^mdT ■=^
quels que soient Ô;, Sri, ^^' ^^ ^^ant un nombre convenablement choisi.
Appelons ç,, 'r^^, l^ les trois fonctions et k^ la valeur correspondante de h. Nous avons :
-J? (/,^, l\] dT = k-^f^'c,oldr
si nous faisons
Zl = ;, S-ri = r„ Zl == C,
nous trouvons :
-.jF{l,,l^)dT = k-^f^l-]dr
c'est-à-dire :
Le minimum est donc égal à -^> ce qui démontre que Af est positif, comme nous l'avions admis implicitement.
i06 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE L ÉLASTICITÉ
53. Nous allons lâcher de trouver d'autres solutions; pour cela considérons trois fonctions l, -ri, Z, assujetties aux conditions :
L'expression — / W2f^T aura certainement un minimum,
lorsque l, tj, Ç varieront de toutes les manières possibles sans cesser de vérifier ces relations. Ce minimum sera d'ailleurs supérieur ou égal à celui que nous avons déjà trouvé, puisque nous nous sommes imposé une condition de plus pour les fonctions l, t), ^.
Les principes du calcul des variations nous apprennent qu'on peut trouver deux nombres h et k'^ tels que l'on ait, quels que soient les accroissements ol, 8-^, ZZ, :
Nous allons démontrer que l'on a nécessairement A ^ o ; en effet, l'équation étant vraie, quels que soient Sç, ûï], SÇ, faisons-y :
hl = l, o-t\ = -ri, K — X.-
La troisième intégrale est alors nulle, puisque l'on a supposé
