PETITS MOUVEMENTS D'UN CORPS ÉLASTIQUE
ne peut pas avoir :
les À étant des constantes. En effet on a, par hypothèse :
Si nous posons
E/y sera égal à zéro si i est différent dej et à un si î =: j, et il viendra d'ailleurs
c'est-à-dire :
Ày = o.
On voit ainsi que tous les X sont nuls; parsuite ;„ + <, '/]«+) ^n-i-i seraient nuls, ce qui est absurde puisqu'ils vérifient la relation
Ce point étant établi, il est aisé de voir qu'il ne peut pis y
avoir plus de six minima nuls. En effet, si l'on a :
dz
comme W2 est essentiellement négatif, Wa est identiquement nul, ce qui exige que les a et les p soient nuls.
Les six dilatations étant nulles, le corps se déplace à la façon d'un solide invariable. Or il y a six mouvements possibles linéairement indépendants : par exemple trois translations parallèles aux axes et trois rotations autour des trois axes. Il n'} a donc que six systèmes de valeurs indépendantes de l, 7), Ç qui donnent des minima nuls.
D'ailleurs puisque ces minima nuls existent, on les trouvera nécessairement ; on aura :
A-, = k.2 = k^ = k^ = A3 = Au = o A7 ^ o
54. Tous les nombres A^ que nous trouvons par cetteméthode sont essentiellement positifs ; on peut se demander si l'on ne pourrait pas, en procédant autrement, trouver des solutions des équations telles que A- soit négatif ou imaginiire.
Les équations du mouvement seraient satisfaites pour
l^e"^ot ^^ ^ .^^ge/„^ ç ^ ç^e^^v
soit
on a
PETITS MOUVEMENTS D UN CORPS ELASTIQUE lit
Si les équations qui sont à coefficients réels admettent cette solution imaginaire, elles admettent aussi la solution imaginaire conjuguée.
%Q étant l'imaginaire conjuguée de Iq.
De plus, à cause de la forme linéaire des équations, la somme de deux solutions est aussi une solution; on obtient ainsi la solution réelle
Or cette solution est incompatible avec le principe de la conservation de l'énergie, ;, y,, ^ sont en effet égaux à une
fonction périodique du temps de période ^ (ou une constante
par rapport au temps si dc est nul) multipliée par une exponentielle qui augmente indéfiniment ou tend vers zéro lorsque le temps croit indéfiniment (suivant que 3 est négatif ou positif). Il en est d'ailleurs de même de leurs dérivées. Donc, pour un temps croissant indéfiniment, la force vive du système augmenterait elle-même indéfiniment — ou bien tendrait vers zéro, ce qui est absurde.
La démonstration suppose essentiellement le corps limité dans toutes les directions; sinon on n'est pas assuré que les intégrales employées ont un sens.
55. Pour achever cette étude des petits mouvements d'un corps élastique, il resterait à faire voir qu'un mouvement
lli! LEÇONS SUR LA THÉORIE DE L ÉLASTICITÉ
quelconque peut être considéré comme dû à la superposition de mouvements vibratoires simples.
Supposons que nous ayons imprimé au corps une déformation quelconque et que nous l'abandonnions à lui-même sans vitesse ; on admet généralement que l'on a :
\ = A,;, cosk^t -\- X.^l^ coi^k.^i -{-... — V A„ç„ cos/e,,^ 7) = N A,..7]„ cos Af^t
Au point de vue physique, il est évident qu'il doit en être ainsi, car le nombre total des molécules du corps est fini. Les équations du problème peuvent s'obtenir en écrivant pour chaque molécule trois équations différentielles ordinaires, du second ordre, linéaires et à coefTicienls constants. L'intégrale générale d'un tel système est bien de la forme indiquée plus haut, le nombre des termes de la série étant égal à six fois le nombre des molécules.
On peut se demander si la proposition est encore vraie au point de vue analytique, lorsqu'en fait on revient à la conception de la matière continue. Cette question a un intérêt purement mathématique et, par conséquent, il serait essentiel de la résoudre rigoureusement. Malheureusement, les ressources actuelles de l'analyse ne permettent guère d'espérer en trouver la solution. Nous admettrons à titre de postulatum le résultat sans démonstration, par analogie avec ce qui a lieu pour les fonctions sphériques et de Lamé.
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE 113
Si nous faisons t = o, nous avons les valeurs initiales de
Il en résulterait que trois fonctions quelconques ^, r,, Ç peuvent être développées en séries de cette forme : c'est là le fait analytique essentiel qu'il faudrait démontrer.
On pourrait être tenté de croire à l'impossibilité de ce développement, par un raisonnement a priori dont il importe de montrer l'inexactitu^le. Les fonctions ;,, Tj,, Ç, satisfont toutes à une condition : la pression à la surface est nulle. Il peut arriver que les fonctions initiales données ;, tj, Ç ne satisfassent pas à cette condition ; il semble dès lors impossible que ;, -rj, C soient des fonctions linéaires des ;,-, tj,-, Ç/. On peut montrer par un exemple, emprunté à une théorie plus simple, la fausseté de ce raisonnement. On trouve facilement
2 4 /cos 2.x , cos Ax , cos Qx ,
X étant compris entre 0 et ir. Le premier membre est une fonction impaire de a; ; le second membre est une série dont tous les termes sont des fonctions paires.
Si nous admettons la possibilité du développement, il est
tLASTICITÉ. 8
facile de trouver les coefficients A ; soient en effet
'-Va ^
Ajoutons ces équations multipliées respectivement par tjrfr, -fiidr, ^idi et intégrons à Tintérieur de tout le volume du corps considéré il vient:
= Ai
d'après les propriétés des fonctions $;. On a ainsi les formules :
qui représentent certainement le développement cherché, si celui-ci est possible. Il resterait à montrer que ces formules sont exactes.
56. On peut, si l'on admet le postulatum énoncé plus haut, ramener le problème statique au problème dynamique ; il
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE 115
faut trouver trois fondions ;, -q, s satisfaisant aux équations :
^ ' ' (JX ' '
(X + u.) ^ 4- V.AC = ~Z
et à la condition que la pression soit nulle à la surface, (Nous avons vu, en etîet, qu'on peut ramener le problème général à ce cas particulier.)
Nous développerons X, Y, Z en séries de la forme :
Pour que l'équilibre soit possible, il faut que, si l'on assujettit le corps à être un solide invariable, les forces se fassent équilibre, ce qui donne les conditions :
\ Xch = o I Xch =z 0 fzdx = o
J[i/l—zY)ch = o f{zK — xZ)ch = o f{xY—yX)ih = o
Il en résulte que les 6 premiers coefficients A sont nuls ; en effet, les 6 premiers minima sont nuls ; les déformations correspondantes sont de simples déplacements ; nous pouvons supposer, par exemple, que les trois premières sont des
translations parallèles aux axes, les trois autres des rotations autour des axes. On a alors :
E, = G iri, = o C, = o.
G étant une constante, il en résulte :
A, =/(Xç< + Yti, 4- ZC,) d^ = cfxdT = o ;
de même :
On a ensuite :
A, =/(X^, + Yvi, + ZC,) dT = p f{yZ - ^Y) dr = 0
et de même :
A^ = Af, = o
Cherchons maintenant une solution des équations (a) en posant :
les équations deviennent :
^B, [(X -H -x) f^ + ...AS,] = - V A.E. et deux équations analogues.
