PROPAGATION DES ONDES PLANES H

Enfin la quantité 9 devient ^•

Les équations (a) deviennent après simplification

clK dK

et si nous posons :

elles s'écrivent :

""'^dF^-dë-

,d\fr, "^^ dz-^~ df'

\ ,dK dK

sous cette forme on voit qu'elles sont analogues aux équations des cordes vibrantes ; leurs intégrales générales sont donc :

'1 = ?2 (^ — '^lO 4- 'h (- + <^iO

Î; = cp3 (^ — (Oo/) + 'ig (Z + C02<)

les fonctions cp et '\> étant arbitraires. Si nous prenons en particulier :

l = ^^ [z — oy^t)

nous aurons une onde plane se propageant avec la vitesse w^, La direction de la vibration est parallèle à ox, elle est donc contenue dans le plan de l'onde. On dit dans ce cas que l'onde est transversale ; cela s'accorde avec la définition déjà donnée

de la transversalilé, car 6 se réduit ici à — qui est nul.

Si au lieu de la fonction cp^ on avait pris |^ {z -j- (d,<) le sens seul de la propagation aurait été changé. Considérons maintenant la solution particulière :

'OoO

La direction de la vibration est l'axe des z, c'est-à-dire une perpendiculaire au plan de l'onde. On dit dans ce cas que l'onde est longitudinale et l'on peut vérifier que Idx -j- 'ri(^y + Kd^, qui se réduit à ^dz, est une difierentielle exacte.

Les quantités oi, et Wj sont les vitesses de propagation des ondes transversales et des ondes longitudinales, elles sont en général difïerentes.

Pour les gaz fx r^z o et par suite co^ = o ; pour l'éther, au contraire, X -f- 2[ji = o, ce qui entraîne Wo = o.

Le corps étant supposé isotrope, il est évident que la vitesse de propagation d'une onde plane est indépendante de son orientation. Soit a.œ -}- bi/ -\- yz ^ o le plan parallèle au plan de l'onde mené par l'origine, les quantités E, t], Ç ne seront fonction que de aa; -f- [ip -\- yz et de t.

58. Étudions en particulier les ondes qui correspondent à des mouvements vibratoires périodiques. Les équations

PROPAGATION DES ONDES PLA^ES l:îl

qui donnent l, -r^, Ç sont à coefficients réels ; si donc on a trouvé une solution

fi = "^10

où ?o, 7io, Co sont imaginaires, en désignant par Çq, -/jq, Çq les imaginaires conjuguées, les équations seront satisfaites pour :

De plus ces équations étant linéaires, une nouvelle solution sera donnée par :

• iQ = 2 ^'no + 'lo) ^

c'est-à-dire par les parties réelles de ^g, r,^ (^g.

On peut donc écrire les expressions de l, tj, Z, sous forme imaginaire en convenant de ne conserver définitivement que la partie réelle. Ordinairement on emploie pour l'étude des vibrations périodiques des exponentielles imaginaires et l'on pose :

OU avec P ■= ct.x -\- ^y -\- yz -\- pt

l = Ae'P

Le plan de l'onde est alors :

'9 = 0.x -\- '^y -{- ^z -{- pt =z o.

Cherchons à déterminer, à l'aide de ces formules, des ondes transversales et des ondes longitudinales. La condition de transversalité :

dx ' dy dz s'écrit :

Atae* + B2^e'P + Ciye'P = o

c'est-à-dire Aa -|- BS -j- Cy = o ;» elle exprime que la direction de la vibration est dans le plan de l'onde.

Si cette condition est remplie, l'onde se propagera avec la vitesse co^ et l'on devra avoir :

ce qui s'écrit :

— (0? (oc2 + 1^2 + yS) Ae'P = — p^Ae'P ou :

Pour avoir une onde longitudinale il faut que la quantité