PROPAGATION DES ONDES PLANES
IcLv -\- (rhj -\- X,dz soit une différentielle exacte, ce qui exige :
a ~ fi ~ Y
La vibration est donc perpendiculaire au plan de l'onde. 11 faut de plus que la vitesse de propagation soit Wj. Cette dernière condition donne évidemment :
Cherchons maintenant les solutions réelles qui correspondent à ces solutions imaginaires ; supposons que l'on ait trouvé :
I A = A, + ik.^ ^ B = B, + ?B, C = C, -f «Go
et que les coefficients a, p, y, p soient réels, ce qui a lieu en général. On a alors :
et par suite
cos P -\- i sin P
^ = A, cos P — Ao sin P 7| = B^ cos P — B2 sin P Ç = C, cosP — Co sinP
On a quelquefois à considérer des cas où a, p, y, p ne sont pas réels, P est alors de la forme
124 LEÇONS SUR LA THÉOIUE DE l'ÉLASTICITÉ
et l'expression de l, par exemple, devient :
ç = A^e~^'' cosP' — Aoe"'" sinP'
Elle contient donc un facteur périodique multiplié par un facteur exponentiel e-^' qui dépend du temps, si p est imaginaire.
Des ondes de cette nature se présentent surtout en optique où on les appelle ondes évanescentes ; nous verrons plus loin qu'on peut aussi en avoir besoin en élasticité.
59. Réflexion. — Considérons un plan indéfini que nous prendrons comme plan des xy^ nous supposons qu'au dessous se trouve un milieu élastique indéfini, le vide étant au dessus. Une onde se propageant dans le milieu élastique et rencontrant le plan des œi/ ne donnera pas d'onde réfractée car le vide n'a pas de masse et ne peut par conséquent pas emprunter de force vive au milieu élastique.
Si au lieu du vide on avait de l'air ou un milieu de densité très faible par rapport à celle du corps élastique, la force vive de l'onde réfractée serait aussi très faible et négligeable devant celle de l'onde incidente.
De plus la pression à la surface devra être nulle.
Nous prenons le plan d'incidence pour plan des y^, les différentes ondes planes seront parallèles à l'axe ox et par suite l, Yj, ^, ne dépendront pas de x.
Soient donc :
l^e'(?>/ + rt)
71 = ïioe'iPi' + /'')
^0' '1o' ^01 dépendant seulement de z, les expressions de la vibration.
Quelle que soit sa direction, nous pouvons décomposer la vibration en deux autres, l'une parallèle au plan d'incidence, l'autre perpendiculaire à ce plan.
1° Considérons la vibration perpendiculaire au plan d'incidence, elle est parallèle à ox, par conséquent située dans le plan de l'onde. L'onde incidente est donc transversale.
Par raison de symétrie l'onde réfléchie est aussi transversale.
Faisons 7^ = ÎÇ := o^ l'équation qui donne ; se réduit à :
dH
-' df'
Mais
on a:
dz"-
df'-
Donc
; satisfait à l'équation
— -S-:) = -pp-;.
Les deux autres équations sont satisfaites d'elles-mêmes puisque -t\, ; et 9 sont nuls.
L'équation en ; est linéaire et à coefficients constants, on sait l'intégrer. D'autre part nous avons : ; =ÇQe'"(?y-f-^o, \^ ne dépendant que de ^, donc Ço satisfait à la même équation :
dz' ' '« ~ cof -0
puisque a)f = -•
Soit \/ —^ — f^" = Y» Y doit être une quantité réelle pour que le plan de l'onde soit réel, on a :
et par suite :
Le rapport des deux constantes d'intégration, qui est aussi le rapport des amplitudes des ondes incidente et réfléchie, se détermine en écrivant que la pression est nulle à la surface.
On aura donc pour ^ ;= o :
(X + (..) 0 + a ^^^ = O dl , di:
' ' \dz dx
et, comme 5 ^ tj = i; = o, ces conditions se réduisent à :
■— = o pour z = o.
Il en résulte A = B, ce qu'il était facile de prévoir d'après le principe de la conservation de l'énergie.
60. 2° Considérons maintenant la vibration qui est parallèle au plan d'incidence. Elle le sera encore dans la ou les ondes réfléchies.
Posons
{ Z=^^e''(^!y + pn
Tf)o et Co ne dépendant que de 5- et cherchons à vérifier les équations (a) du N" 37
La première est satisfaite d'elle-même.
On a d'autre part :
et
donne les deux relations :
) dy dy dydz
'Il — -r. (h ydK
Les deux dernières équations sont donc
I '■ (>. + ri ? â + (>. + .) i + . (S - r) = - ^/'=ç
Elles s'écrivent en remplaçant Yj, C par leurs expressions en
128 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
fonction de tj^, Zq et ordonnant :
0^ + 2^) '§" + ip (^ + ^-) ^" - W - PP^J ^0 = o.
Ce sont deux équations du second ordre linéaires et à coefficients constants.
En éliminant l'une des quantités tiq et Co» on trouve pour l'autre une équation du quatrième ordre à coefficients constants dont l'intégration ne présente aucune difficulté.
On a donc pour yj^, Kq quatre solutions linéairement indépendantes. Elles sont faciles à prévoir. Supposons l'onde incidente longitudinale, on aura :
) '^io = P^' '^ Y étant déterminé par l'équation :
ti)
L'onde réfléchie correspondante sera donnée par l'autre racine de l'équation en y :
Supposons maintenant l'onde incidente transversale. Soit : Y^ -\- f>y = 0 le plan de l'onde au temps i = o, on aura :
y' étant donné par la relation :
L'onde réfléchie correspondante sera telle que :
La solution générale est donc :
Tio = A'ie''^^ + Bfie -'■•.'■ — Cv^Y^ -{- Dy'ô-'ï =
Quand on donne la vibration incidente, on connaît A et G. Il s'agit de trouver B et D. On s? servira, comme précédemment, de ce que la pression est nulle dans le plan des xj/.
Des trois équations
//J -4- z-x -r- = o { ^ ' dz
\ ^\dz'^ dy)
qui doivent être vérifiées pour s- =: oja seconde est satisfaite d'elle-même.
Les deux autres donnent :
( (A + Bj iX3'-' + (À + 2a)y2] [- 2(G — D) a^y' = 0 j 2 (A — B) |ÎY + (G 4- D) (32 y'2) ^ q
En tenant compte de ce]que
(X + 2a) [r + Y^) = cp2 = a (?^ -\- r-)
la première s'écrit :
2 (G - D) Py' - (A + B) (fi- - y'2) = o
On a pour déterminer B et D les deux équations
( (A-B)2py+(C + D)(p-y'^) = 0 I (G-D)28Y-(A + B)r-/2)^o
Le problème est complètement terminé.
Soit par exemple un rayon incident vibrant transversalement dans le plan d'incidence:
Il donnera deux rayons réfléchis de direction différente vibrant l'un transversalement, l'autre longitudinalement. Pour le premier 1 angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.
Soit i l'angle d'incidence, r l'angle de réflexion pour le rayon réfléchi qui vibre longitudinalement.
On a
et par suite :
g i = ^, tg r = -^
sm % = ~ — ^
sin r =
i et r sont donc liés par la relation
sm i «2 sinr (D^
qui montre que le rayon suit la loi donnée par Descartes pour la réfraction.
De même, si l'onde incidente est longitudinale, il y aura deux rayons réfléchis, l'un longitudinal pour lequel l'angle de réflexion sera égal à l'angle d'incidence, l'autre transversal qui se réfléchira conformément à la loi d'optique de Descartes.
Si l'un des angles de réflexion devenait imaginaire, il est facile de voir que l'un des rayons réfléchis serait évanescent.
61. Il y a un certain nombre de cas où la réflexion ne décompose pas le rayon incident, la vibration étant parallèle au plan d'incidence.
Supposons que cela arrive pour un rayon incident vibrant longitudinalement, c'est-à-dire pour lequel G = o.
L'expression -t^dy -f- X,dz doit être une différentielle exacte; soit 6?cp cette diCTérentielle.
On a:
(ht c/©
'^'~ty ^~dz
D'autre part les relations
T, == r,of^'f?^ + /")
dans lesquelles
Ç = Le''^^ + p^^
donnent par l'intégration
cf = — ou 7^- = îSï) ^ ^P dy ^'
et
Donc
et
d^o , d^'jj ,^., , ,,
df\ 'K ^ d-ij
T^ + T = -'P T' dz dy dz
Les conditions à la surface N3 = Tj = T, =0 pour ^ = o se réduisent, puisque l'équation T^ = 0 est satisfaite d'ellemême, à :
I Wf^^ + T^) + !V]?-o
' dz
pour z ■=■ o
Le coefficient de cp ne peut être nul ; donc cp = o.
On ne peut supposer en même temps -t^= 0, car cela
entraînerait A. = B ^ o, ce qui est impossible puisqu'on a supposé l'existence d'un rayon incident.
Il faut donc que l'on ait soit \i. = 0, soit P = 0 avec cp = 0.
Le cas [x = o correspond à un fluide élastique.
Le cas p = o donne l'incidence normale.
Sauf ces deux cas, un rayon incident longitudinal est toujours décomposé par la réflexion.
Supposons maintenant que le même fait se produise pour un rayon incident Iransvcrsul.
La condition 6 ^ o se réduit à :
dr , dl dy dz
qui exprime que -r^dz — Uhj est une difTéroiitielle exacte dl. On a alors :
'''~'dz ^~ 'dy
Les relations
où Ion a :
^ r,Q = — Cy'c'""- -j- Dv'e -'T = 1 l^ = C.'ie'T'^ -L Dôe-'ï'-
donnent en intégrant :
— '1=1^-^ c esl-à-dire -r^ = i^i-l
l'i dy ' '
et
dM
dz^ ^ '
Écrivons les conditions aux limites N3 = To = T, =0 qui doivent être satisfaites pour z ^ 0 ; remarquons que To = o est satisfaite d'elle-même, il restera :
en
[ '"Vf/~ ' dy)-''
pour Z := o.
iU LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
Maintenant [j. est différent de zéro, car on a un rayon transversal; el [j. = o entraînerait ^ù^ = o.
Comme 0 est nul à cause de cette transversalité, il reste les deux seules conditions :
iiz ' dz
dz"^ dxf ~ ^
La dernière s'écrit aussi : (y'^ — fi-) (|; = o.
Si les coefficients p et y'^ — ji^ ne sont pas nuls, les deux équations ne sont satisfaites que pour G = D=rro, c'est-à-dire s'il n'y a pas de rayon incident.
Il faut donc p = o ou y'- = [i^.
p = o donne l'incidence normale p- = y'^ donne l'incidence à 45°.
Dans ces deux seuls cas il n'y a pas de décomposition et le rayon réfléchi est aussi transversal.
Dans tous les autres on a deux rayons réfléchis.
62. Vibrations possibles d'un corps élastique de dimensions finies. — Lamé croyait que les vibrations d'un corps élastique étaient ou uniquement transversales ou uniquement longitudinales. Nous verrons qu'il ne peut en être ainsi.
Gomment Lamé a-l-il eu celte idée et comment ne s'est-il pas aperçu de sa fausseté? Lamé se représente un corps vibrant non dans le vide mais dans l'air. Par conséquent, à la surface du corps la pression est différente de zéro et nor-
EXEMPLES DK VIBRATIONS 135
maie. Au lieu des trois conditions exprimant que la pression est nulle à la surface du corps, Lamé n'en a plus que deux. Va\ ajoutant à ces conditions celle qui exprime que la vibration est transversale, on conçoit que le problème reste possible et déterminé et qu'il en soit de même dans le cas de vibrations longitudinales.
Lamé cherchait à trouver pour les l des expressions de la forme l := li cos kit ; mais nous savons qu'un corps vibrant dans l'air communique peu à peu sa force vive à l'air, on •doit donc trouver pour les ; des expressions de la forme
^ .■=■,■ ;,e-*^ cos, kit.
Lamé n'arrive pas à ces formules.
iNous allons faire quand même le calcul de Lamé pour le prisme rectangle ; il présente un certain intérêt.
