I. — Recherchons d'abord les vibrations longitudinales
qu'il est capable d'éprouver.
Soient :
les équations des six faces.
H, -^, iÇ, doivent être les dérivées partielles d'une même fonction cp que nous prendrons ainsi :
^ :z= COSIX.X. cos 132/ . COS y^". COSpt.
Nous aurons alors :
0)2 étant la vitesse de propagation dune onde longitudinale.
Supposons que a, p, y soient pris de telle sorte que :
) ^b ^ mz ( yC = qiz
m, n, q étant des nombres entiers, Lamé emploie la notation abrégée suivante :
COS y.x^C cos ^y = c' COS y^ = c" cospt = r
On a par conséquent :
sm XX = s ( sin Py = s' [ sin yz = s"
pour
ou
pour
ou
pour
ou
A la surlace du corps, les composantes normales du déplacement sont nulles. Considérons par exemple les deux faces perpendiculaires à ox, nous avons \=: — asc'c"r, et nous savons que s s'annule pour a; = o et ^r ^ a.
Je dis que les composantes tangentielles de la pression sont nulles à la surface. Considérons en effet un point de l'une des faces œ r= o ou a- = a, la composante parallèle de la pression est :
dy dx) ' dxdy
c'est-à-dire
'i]j.xpsc"T
Elle s'annule évidemment pour a- = o et a; = a. Les conditions que Lamé s'impose sont donc remplies par le sj'stème de valeurs de \, r^, Ç considéré.
IL — Cherchons maintenant les vibrations transversales dont est susceptible le prisme.
Prenons :
/ l = Psc'c'r : r, = Qcs'd'T
P, Q, R étant des coelficienls constants et supposons que l'on ait choisi a, p, y de manière à vérifier
et les relations :
art == mTT, etc.
La condition de transversalité d =z o donne
Pa + Q[i + Ry = 0
relation que nous assujettirons P, Q, R à vérifier.
Dans ce cas les composantes tangentiellcs de la pression à
la surface sont nulles. En effet -7^ + 7 se réduit ici à :
dy dx
— s (P.85'c"r -}- (\xs'c"y)
c'est-à-dire contient le facteur 5 qui s'annule pour a? = o et ^ = rt.
De plus nous remarquons que la composante normale
4i\ déplacement est encore nulle à la surface, car ? par exemple contient s en facteur.
Les conditions de Lamé sont donc remplies.
Mais les solutions trouvées correspondent à un problème que Lamé n'avait pas en vue et qui est le suivant :
Un corps rigide possède une cavité en forme de prisme rectangulaire, on y place un prisme élastique ; trouver les vibrations transversales et les vibrations longitudinales dont est susceptible ce prisme.
Le seul mouvement possible est en efïet le mouvement de glissement pour les éléments de la surface ; par suite, si nous négligeons le frottement, les pressions tangentielles qui s'opposeraient à ce glissemeut doivent être nulles.
D'autre part, les composantes normales des déplacements doivent être nulles.
Examinons maintenant comment on peut se rendre compte de ce fait que les vibrations d'un prisme rectangle ne sont ni exclusivement longituilinales, ni exclusivement transversales.
Voici une manière élémentaire de se représenter la nature des vibrations propres d'un corps élastique.
Supposons une onde plane se propageant à l'intérieur d'un pareil corps ; elle se réfléchira sur les parois ; les ondes réfléchies subiront à leur tour de nouvelles réflexions et l'interférence de tous ces rayons produira une sorte de système d'ondes stationnaires ; c'est l'existence de ces ondes stationnaires qui détermine l'état vibratoire du corps.
Dans le cas d'un fluide, les ondes longitudinales peuvent seules se propager; un rayon incident longitudinal donne un seul rayon réfléchi qui est également longitudinal, et les
ondes slalionnaires formées ne pourront être que longitudinales.
Dans le cas d'un solide, au contraire, un rayon incident se décompose par la réflexion en deux autres, l'un longitudinal et l'autre transversal; les ondes stationnaires dues à l'interférence de ces divers rayons ne seront ni exclusivement longitudinales, ni exclusivement transversales.
D'autre part, on ne pourra, même dans le ca? simple du parallélipipède rectangle, s'arranger de façon que le nombre des ondes interférentes soit fini, et c'est pour cette raison que la solution est beaucoup plus compliquée que ne le croyait Lamé.
Cependant il }' a des cas où la décomposition de l'onde incidente en deux ondes réfléchies, l'une longitudinale, l'autre transversale n'a pas lieu et nous pouvons prévoir (jue dans certains cas tous les rayons dus aux réflexions successives seront de même nature et que par conséquent les ondes stationnaires seront longitudinales ou transversales. O'est en effet ce qui arrive, ainsi ([ue nous allons le voir.
63. Vibrations du prisme rectangle. — Nous avons vu qu'il y avait des cas oii une onde se réfléchissait sans se décomposer; à chacun d'eux correspond un cas où l'on peut résoudre complètement le problème du prisme rectangle.
Rappelons donc les divers cas où cette décomposition n'a pas lieu :
1" L'onde incidente est longitudinale et tombe sous l'incidence normale ;
2° L'onde incidente est transversale et tombe sous 1 incidence normale ;
3° La vibration incidente est transversale et perpendiculaire au plan d'incidence.
Le second cas rentre dans le troisième, car l'incidence étant normale, le plan d'incidence est indéterminé et peut être pris perpendiculairement à la vibration ;
4° L'onde incidente est transversale, la vibration est parallèle au plan d'incidence ei l'incidence est de 45° ;
5° Le corps élastique est un fluide, c'est-à-dire jx = o.
L — Supposons que le prisme ait deux dimensions infinies, c'est-à-dire se réduise à la portion de l'espace comprise entre deux plans parallèles œ ^ o, œ r= a.
Considérons une onde longitudinale se propageant dans le prisme et tombant sur ses faces sous l'incidence normale. Nous aurons y, = Ç = o et nous prendrons :
; = cosaa; cos pt = cr
avec les notations de Lamé. Assujettissons a et p à satisfaire aux deux relations :
—-, et a« = 7)171
m étant un nombre entier. Les équations de l'équilibre intérieur sont évidemment satisfaites.
Considérons les équations à la surface :
d^ dx
dy
d-r, dx
El dz
dx
pour X ^=^ o q\. X ^ a.
La première donne, puistiue r^ = ^ =: o,
— -^ z= 0 pour a; = o et x ^ a. dx
d\ Celle condilion est satisfaite puisque -^ contient sin aa* en
facteur.
Les deux aulrcs sont satisfaites d'elles-mêmes. Donc :
, ; = COS 'J.X COS '[.t [ ^ = 0
avec
/ ■xa = mi:
exprime un des états vibratoires du prisme.
IL — Considérons un prisme rectangulaire dont une seule dimension est infinie, soient :
les équations de ses faces.
Prenons un plan d'incidence perpendiculaire à ox et considérons une vibration transversale perpendiculaire à ce plan, nous aurons :
Nous prendrons :
142 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
Il faudra d'abord satisfaire aux conditions à l'intérieur, ce^
qui donne la seule relation B^ 4- y^ = ^•
' cof
Si nous choisissons en outre p et y de façon que pb et yc soient des multiples entiers de 7r, les conditions à la surface seront satisfaites.
Nous avons en effet S = o, par suite les conditions relatives aux faces y = o el y = h seront :
I — = 0 dy
\ dy dx \ dy dz
La première et la troisième sont satisfaites d'elles-mêmes^
dl la seconde l'est parce que -r- contient s' en facteur.
dy
On vérifierait le même fait pour les faces s- = o et -s" = c>
On a donc un état vibratoire du prisme :
j r, = C = 0 ( \ =c'c"T avec
S^ = n-K yc = qT.
[II.- — Soit un prisme dont toutes les dimensions sont fmie& et:
les équations de ses faces. Nous allons considérer une ondo transversale, le plan d'incidence étant toujours j/oz, lu vibration sera parallt^le au plan d'incidence, et l'incidence sera de 45°.
Nous aurons ç = o ; soit <\> = c'c"r, nous prendrons
\ dz
et pour que l'incidence soit de 45° il faut S := y.
Les équations de l'équilibre intérieur donnent la seule condition
et 1' relation 9 = ^ + -7^ = o montre que la vibration est dy dz ^
transversale.
Si l'on suppose p tel que %b = n- et en même temps
Pc = </7r puisque p = y, ce qui exige que - soit un nombre rationnel, je dis que les conditions à la surface seront satisfaites. D'abord elles le seront sur les faces ^ = o et ^ = a. On doit avoir sur ces faces :
dx '
dy dx
d±\CV^ dz ' dx
Or ; = o, 7) et C sont indépendants de x. Les relations sont donc satisfaites.
Considérons les faces y =z o, y =: b. On doit avoir :
dy
dy "•" dz
dy '" dx
La troisième condition est satisfaite d'elle-même, la
dr, 1 est parce que
Il reste
••11. dr, . , „
première 1 est parce que -~ contient s on facteur.
c'est-à-dire :
ou encore :
dZ, di\
dy ■" dz
d-'b dH dy"- ~ dz'-^
relation satisfaite parce que 8 := y
La vérification se ferait de même pour z = o et z = c ;
-y contient en effet s" en facteur, car :
EXEMPLES DE VIBRATIONS t45
L'état vibratoire trouvé est donc :
Ç = — ^s'c"T avec
( ^b = nT, [ic = ç'Tî
