Ml^f
et que p. = o.
La pression est nulle à la surface, on a donc, puisque [x = o, 0 = G à la surface.
Le proWème est très facile à re'soudre pour un prisme rectangle, il suffit de prendre :
9 = ss's"r
avec %'^ -\- p' -\- y^ ^ —t; ei aa, ji'^ yc multiples de tt.
En effet, à la surface, l'une des trois quantités s. s\ s" s'annule.
Ce n'est pas ainsi que se pose, en général, le problème dans le cas des fluides. Quand on a un gaz enfermé dans une capacité rigide, ce n'est pas la pression qui est nulle à la surface, c'est la composante normale du déplacement.
, , dO de d9 Nous avons vu que l, -^, ; sont proportionnels a— ^ — ' -7—
La composante normale du déplacement est donc :
p/)'^ dti
Il faut — = o, on y satisfera dans le prisme rectangle en
prenant 9 = cc'c'T.
EXEMPLES DE VIBRATIONS 14"i
En effet, pour une face perpendiculaire à ox, par exemple,
dO de
a/j dx
de
-r- contient donc s en facteur.
an
Ces deuK problèmes, celui qui consiste à satisfaire aux
équations de l'équilibre intérieur avec 0 = o à la limite et
dO celui aui exise -7- = o à la limite, se retrouvent dans la ^ "" du
théorie de la cbaleur.
Si on considère un corps qui se refroidit et dont la surface
est maintenue àO°, c'est le premier problème qu'il faut résoudre ;
si on suppose la surface impénétrable à la chaleur, c'est le
second.
64. "Vibrations d'une sphère. — L'\s cas où l'on sait résoudre le problème de l'élasticité pour la sphère ne sont pas beaucoup plus étendus que pour le prisme rectangle.
Le cas le plus simple est celui où l'on suppose les vibralions dirigées suivant les rayons et le déplacement d'un point fonction seulement de sa distance r au centre de la sphère.
Dans ce cas la vibration est longitudinale. En effet l'on a :
l = x.f[r) r^ = ij.;{r)
et par suite :
'idx -\- -r^dij -{- X,dz = f{i').rdr =: d-^
^ est une fonction ne dépendant que de r et de t et dont les
trois dérivées partielles par rapport k x,y, z sont les composantes du déplacement.
Supposons que i, r,, X, ne dépendent du temps que par un facteur cosp^, les équations à l'intérieur sont :
Mais ici :
e=^+^ + ^ = Acp
dx dy dz ^
rfâ dA^
(XOO CtOG
Les équations de l'équilibre interne s'écrivent donc
ou encore :
dx (i)| dx
On satisfera évidemment à ces équations en posant :
Aa» = r
car elles expriment que les trois dérivées partielles de
sont nulles. Cette quantité est donc une constante et comme cp n'entre dans le problème que par ses dérivées on peut supposer celte constante nulle.
En coordonnées polaires l'équation qui définit cp s'écrit :
son intégrale bien connue est :
. , , sinar
avec a-* = ^» ou en remarquant qu'on a pris '} [t) = cospf
sin ar cp = cosp^. — ; —
L'équation étant du second ordre admet aussi la solution
cos xr cp = cosp^, — -__ —
mais cette solution devient infinie pour r =: o, on doit la rejeter.
Clebsch a traité ce problème, mais il a obtenu la solution sous forme de série, et je ne sais pourquoi il n'a pas vu que cette série se ramène aux fonctions trigonométriques. Il avait pris pour inconnue
1 ci?cp r dr
Pour achever le problème il faut exprimer que la pression est nulle à la surface, cela nous donnera a et par conséquent p.
Considérons un point M quelconque de la sphère, le rayon OM doit être un axe de symétrie, par conséquent la pression en M est normale. D'autre part, la pression est la même en tous les points de la sphère ; il suffira donc d'écrire qu'elle est nulle en un point déterminé, par exemple le point situé sur ox.
Pour ce point
y := z = 0 ei œ = a La pression normale est :
pour qu'elle soit nulle, il faut donc que l'on ait :
' ' clcc'
Mais nous avons trouvé :
Acp = — 3 cp = — a-cp
et l'on a évidemment au point considéré
I ^ __ ^9 dx dr
d}^(P^ dx^ dr'^
Donc en tenant compte de :
dr^ r dr
l'équation (1) s'écrit :
\ I . / > ^ r dr
D'autre part
sin xr ce, = cosp(.
a satisfait donc à Téquation :
sinac?" , 4l/. Tacosar sinxrl (X -f 2|x) a2 cos pt -j- + -^ cospt ^ — -^ J == o
pour r = a, a étant le rayon de la sphère. Cette équation s'écrit après simplification :
\^ | 2a) ri?a^ — 4|jl] tgart + 4u.art = O
C'est une équation transcendante qui a une infinité de racines réelles.
Faisons en effet varier art entre i^k — 1) \ et(2A ■\- 1) -^
h étant choisi sufFisamment grand pour que le coefficient de tgaa soit positif.
Le premier membre prend toutes les valeurs de — ac à -f- c» , donc il y a au moins une racine dans l'intervalle considéré. Il est facile de voir qu'il n'y en a qu'une.
L'équation n'a pas de racines imaginaires, cela résulte d'une démonstration générale faite plus haut.
65. Dans tous les exemples donnés nous avons trouvé des vibrations exclusivement transversales ou exclusivement longitudinales. Nous avons dit que ce n'était pas le cas général. Nous allons donner un exemple assez simple, que nous
devons à M. Brillouin, de vibrations à la fois transversales et longitudinales.
Nous savons que si l'on prend :
sinar
çp = COSpi. ; —
avec
on a
Acp = -gcp (1)
Par conséquent
doo (oH dx
c'est-à-dire que si cp est une solution de l'équation (1) il en
est de même de -^' dx
Si donc on pose :
[ l —^ l dx'^
i' dxdy . dxdz
^, v), Ç satisferont comme -t2-5 —^1 --2 aux e'qualions de l'équilibre intérieur :
mais ne satisferont pas aux conditions aux limites.
Les quantités ^, -q, Ç définissent une vibration longitudinale ; cherchons maintenant une vibration transversale définie par trois fonctions l, t], ^ satisfaisant aussi aux conditions de l'équilibre intérieur.
L'on doit avoir 6 = o, par conséquent les équations intérieures se réduisent à :
OU encore à : A; = —
Posons
<h = X COSpt.
sin fir
avec :
«}/ satisfera à l'équation :
On aura donc encore
Posons
d^ p^d^^ dxdy (of dxdy
d^ dxdz
cof dxdz
d?^\ dxdy
dxdz
l satisfera quel que soil B à l'équation :
Glierclîons à remplir la condition 6 = o ; on a :
dç , d-r. . dl, d , . . , T) I \
= s; + rf7; + ,7; = s ^-'t + ^'W-
11 suffit donc de prendre B =: S^ = ^•
Nous avons ainsi deux solutions des équations intérieures, l'une représentant une vibration longitudinale, l'autre une vibration transversale.
La somme de ces solutions sera encore une solution et on aura :
avec
1 ^ ~ dx^
j ' dxdy
dxdy
\ dxdz
d^ dxdz
, sina?'
cosp^. >
sinftr
i|; — AcOSp^.
Cette solution comporte donc deux indéterminées A et p. Cherchons à en disposer de façon à satisfaire aux conditions à la surface. Posons pour abréger :
(XCC (XOG
EXEMPLES DE VIBRATIONS i55
on aura :
\ cm
\ '' " f-hi
\ ^"Tz
e se réduit à la valeur qui correspond à la vibration longitudinale, c'est-à-dire :
dx dx
Nous allons calculer les pressions à la surface. Considérons l'axe ox, tout est de révolution autour de cet axe. Les pressions et les déplacements sont donc distribués de même dans tous les plans qui passent par ox et il suffira d'étudier cette distribution dans l'un d'eux, par exemple dans le plan des aîi/.
Prenons dans ce plan des coordonnées polaires. Soient :
I X = >*cos?,^ I y ^= r sin u
les coordonnées d'un point M ; après la déformation ce point vient en M' de coordonnées x -\-l, y ■\- t^ o\x r -\- ^, u -{- iù. Je vais calculer p et w. Pour cela je remarque que
Idx -f- -r[dy -\-X,dz
est le travail que produirait une force fictive de composantes \, 7], C appliquée au point x, y, z pour un déplacement dx, dy, dz de ce point. Or, on a:
\dx -f- -f^y -{- r^dz = t/H + ^^dx
Dans le plan des xy, C = o ; supposons que le de' placement virtuel dx^ dy, dz se fasse aussi dans ce plan de telle sorte que dz = o.
Exprimons le travail en coordonnées polaires. Les projections de la force fictive seront p et rw, les déplacements parallèles seront dr et rdu. On a d'ailleurs :
dûo = co^udr — r %\nudu.
Donc :
po?r -|- r^isidu = dU -{- p^^ [cosudr — rsinMo^w)
Identifions, nous aurons :
l P = -^ — h S^'O/COSM
D'après leur définition, (^ et tj; ne dépendent que de r, soient cp' et <\i' leurs dérivées par rapport à r.
" == (^' + '^') È = ^^' -»- ^') f ^ ^^' + ^') ^'°'^ Posons H^ = cp' -f- i];', H^ ne dépendra que de r, on aura
H =~ ïi^ cos u.
Nous avions trouvé
dx on aura de même en posant :
l'égalité :
9 = B^ cos u
6^ et H^ ne dépendent que de r, donc :
[ ^ = ^^~ cos li
] dr dr
] dH „ .
soient alors
dr
. — lillil 4 02,1
p< et (M, ne dépendront que de r et l'on aura :
p =r Pj cos M co = 0), pin ?<
Nous allons nous servir pour continuer de la considération de l'ellipsoïde des pressions. Nous savons que son équation en un point {oc. p, z) est :
+ '±T^dydz + ît'ï.^dxdz -\- ^T^dxdy j ~ ^ £ étant une constante quelconque et qu'en posant :
ds'^ = dx^ 4- di/- 4- f/^2 o?5.o?<î = dxd\ -(- c/j/dr, -{- dzdl,
elle se réduit à :
La première forme montre que, pour exprimer que la pression sur l'élément de la sphère, perpendiculaire à o^, est nulle, c'est-à-dire que N^ = T3 = T2, il suffit d'écrire que l'ellipsoïde des pressions relatif à un point de cet élément est un cylindre dont les génératrices sont normales à l'élément.
Considérons l'intersection de l'ellipsoïde relatif au point a; = a, y =0, ^ = o, avec le plan des xy, elle devra se réduire à deux parallèles à ox.
Nous avons :
I ds- = dr^ -\- r^dn^ -j- dz^
} dsdiy -.= drdp -\- rç>du'^ -\~ r^diidco -{- dzd^
et les identités :
du
i , doi , , doi , f r/io = -^— dr 4- ~r- «" \ «/• ' du
L'équation de l'ellipsoïde est donc :
Pour que l'ellipsoïde se réduise à un cylindre parallèle à ox il faut et il suffit que les coefficients de dr'^ et de drdu soient nuls.
On doit donc avoir :
le + 2a ^; = O dr
dp j^ 2 d^*^
du dr
Cf^ sont les deux équations qui doivent débii-miner A et /), elles doivent être satisfaites pour r = a, quelque soit u.
Divisons la première de ces équations par cos k, la seconde par sin m, elles deviennent :
p,, (Dj, 9^ ne dépendent plus (jue de r \ les équations sont donc indépendantes de u.
Faisons-y r =z a Qi remarquons que les équations sont linéaires en A. Il sera donc facile d'éliminer celte inconnue et on aura une équation transcendante pour déterminer p. Cette équation a toutes ses racines réelles d'après une remarque générale faite plus haut. A chacune de ces racines correspond pour A une valeur finie, diflerente de zéro et bien déterminée; la vibration trouvée n'est donc ni exclusivement transversale ni exclusivement longitudinale.
66. Rayonnement de la force vive élastique dans l'air. — Jusqu'à présent nous avons supposé que le corps élastique considéré vibrait dans le vide. Si la vibration se produit dans l'air il y a perte de force vive, l'amplitude de la vibration va constamment en diminuant, la pression n'est pas nulle à la surface du corps, toutes circonstances qui compliquent encore le problème. Aussi nous nous bornerons à un cas très simple, celui où le corps élastique est un prisme rectangulaire qui a deux dimensions infinies, c'est-àdire la portion de l'espace comprise entre deux plans parallèles.
Soient
I X =z -\- Xq
ces deux plans: nous supposons qu'il y ait de l'air des deux côtés et que l'on ait ■q^'C, ^^ o, l ne dépendant que de oo et de t. C'est dire, en d'autres termes, que le mouvement vibratoire se fait par ondes planes longitudinales, parallèles à yoz. Dans le corps élastique, c'est-à-dire pour — x^ <, ce <. Xq, l'on doit avoir :
a étant la vitesse de propagation des ondes longitudinales dans le solide.
Dans l'air, c'est-à-dire pour \ x \ > Xq, cette équation est remplacée par :
dt- dx^
h représentant la vitesse de propagation des ondes longitudinales dans l'air.
Les conditions aux limites seront les suivantes : à l'origine
d\ du temps on devra se donner ? et — •
Supposons -^ = o, dans l'air et dans le corps élastique,
et ç =: o, dans l'air, au temps zéro, c'est-à-dire que l'air part du repos. Nous supposerons que, pour ^ = o, ^ est une fonction de x connue entre — x^ et x^.
Pour simplifier l'écriture, nous pouvons même supposer que cette fonction est une fonction paire de x. Si la symétrie
par rapport au plan ce = o a lieu au début, elle subsistera toujours. Cette dernière hypothèse restreint ^ à ne plus contenir qu'une fonction arbitraire de x, au lieu de deux, mais je n'ai en vue que de donner un exemple aussi simple que possible.
Les équations dont dépend l sont en effet les équations des cordes vibrantes. On connaît leur intégrale générale.
Dans le corps, c'est-à-dire pour — .>;^ < x < Xq
l = F {at -f x) + F {at — x)
(on a la même fonction F parce que ç est paire). Pour a; > iPo on doit avoir :
1 = :^ [bt-\- .r) -f 5, {bt — x) enfin pour x <i — .r^
ï — cp [bt — x] -\- o^ {bt -f x)
Les fonctions cp et 'j, ne sont d'ailleurs déterminées qu'à une constante près, qu'on peut en effet toujours ajouter à cp à condition de la retrancher de cp,.
Au temps t = o, ; := o dans l'air, donc pour x ^ Xq :
© [x] -|- cp, ( — x) = o Mais on a aussi au début :
donc :
cp' [x) -f- cp; {—x) = o
La première relation différentiée donne :
cp' [œ) — cp; {—x)=o Il en résulte :
cp'(£C' = Z'j^ (— /?) = o
<p et (f^ sont donc des constantes que je puis supposer nulles, d'après une remarque 'aile p' is haut, puisque leur somme est nulle.
cp et <p^ seront donc nuls 'outes les fois que leur argument sera supérieur à a?^.
L'argument de (p, c'est-à-dire bt -\- oc, est toujours, dans la région située du côté des œ positifs à partir de x^, supérieur à Xq.
Donc pour a; > a?,, on a :
; = cp^ [bt — x) et pour a; < — ûj^,
ç =: <p^ (bt 4- x)
Écrivons les conditions aux limites ; \ doit être le même pour X = ii'Q, qu'il soit considéré comme déplacement d'une particule d'air ou d'une particule du corps élastique.
Donc on doit avoir, quel que soit t :
(1) F (at + x^) + F («< - x^ = cp, [bt — X,)
La considération de x ^= — x^ donne évidemment la même équation.
La pression doit pour x = Xq être la même dans
l'air et dans le corps solide. Dans le solide, elle est
normale et égale à X5 -j- Sa -j-^ c'est-à-dire à (X -f- Su.) -7^ •
cico et ce
Dans l'air elle sera aussi proportionnelle à -7^* Mais le coef- ^ ^ dx
ficient de proportionnalité sera différent. Donc pour x =:^ x^ la valeur de -t^ dans le solide sera dans un rapport constant
avec la valeur de -r^ dans l'air, ce qui se traduit, en désignant par h une constante, par l'équation :
(2) F {at + X,) — F' [cit — x^) = —h-,[ [ht - x^)
Différentions l'équation (1) par rapport à t, nous aurons :
(!') F [at + X,) + F {at - x,) = ^:p{ [bt - x,)
Les équations (2) et (!') montrent que le rapport de deux quelconques des trois quantités :
F' [at + x^), F' [al — x^), 'i>; [bt — x^)
est une constante. En particulier:
F {at 4- Xf.) . b — ha
=17^ ■ T = COnst. = 7 — ; —
F [al — x^ b + ha
Cette constante est positive, car elle diffère peu de ce qu'elle est dans le vide où b est infini et où par conséquent la constante se réduit à 1.
Désignons-la pare--'^-^».
En posant at — x^^ y on aura :
F' (s/ -f sa-o) = ^''"- F' (y)
Posons: »F [y] = e^i^ F' [y) nous en déduirons :
W[yJr 2^0) = ^ iy)
W [y) est donc une fonction périodique qu'on peut développer en série
Alors :
A/' „ nim\ m ( - '^ + T ) >
On a finaleinent :
c'est-à-dire .
<I> étant une fonction périodique de t dont la période est
Cette fonction •!> est représentée par une série de sinus et de cosinus qui est précisément la série des harmoniques
EXEMPLES DE VIBlllTIONS 165
successives d'une vibration de période — -• Les périodes de ces
harmoniques ne dépendent pas de K, elles sont donc les mêmes quoi que soit le milieu dans lequel le prisme est plongé et en particulier pour le vide.
Le facteur e-^"' fait connaître la rapidité de l'extinction; on voit qu'elle est la même pour tous les harmoniques.
Ces propriétés ne sont probablement pas vraies pour un corps vibrant de forme quelconque.
