CHAPITRE VII
PROBLÈME DE SAIiNT-YENANT
67. Considérons un cylindre homogène qui n'est soumis à aucune force extérieure non superficielle. Nous faisons par conséquent abstraction de sa pesanteur. Nous supposons en outre qu'il n'y a pas de forces superficielles latérales, de telle sorte que les seules forces agissant sur le cylindre soient appliquées aux deux bases. En les composant comme si elles étaient appliquées à un solide invariable, elles doivent évidemment se faire équilibre.
Saint-Venant fait une hypothèse de plus ; il suppose à l'intérieur du cylindre N^ = Ng =z T^ =: o. Nous verrons plus loin la raison de cette hypothèse.
Cherchons quelles relations elle établit entre l, tj, Ç.
On a les trois équations :
l ' ' ax
\dy~^dx)
Les deux premières donnent :
d^ rf7) dx dy
et par suite:
dx ^ di/' ds: " dx'~ dz
Celte valeur portée dans la première des équations (1) conduit à la relation :
qui, en posant
donne
K zz
dl
dz
dx
dr^ Ty
Par conséquent la valeur de 6 trouvée plus haut s'écrit :
ou encore :
\ -\- ]x dï Gela posé, considérons les équations de l'équilibre intérieur:
dx dy dz
I dx dy dz
\ dx ' dy dz
Nous avons N^ = Ng = Tg = o, par conséquent les deux premières donnent :
c'est-à-dire
dz dz
d'-l . dK
d\ jP^ __ dz- dydz
La troisième est d'ailleurs:
dd
et^ en tenant compte de l'expression de 6 avec — '
^ + ^^ = " ce qui s'écrit en développant Ai; :
dœ^ ^^ dy^ dz^
Toutes ces équations ont lieu à l'intérieur du cylindre ; à la surface latérale, il faut écrire que la pression est nulle.
Soient, en un point de cette surface, cosp, sinp, 0, les cosinus directeurs de la normale au cylindre prise vers l'extérieur, les génératrices étant supposées parallèles à oz ; les trois composantes de la pression sont :
N^ cosp -\- Tgsinp T3COSP -]- Nasinp T2COSP -]- T, einp
PROBLÈME DE SAINT-\E^\iNT 169
En écrivant qu'elles sont nulles et tenant compte de ce que
N^ = N2 = T3 = 0, on a la seule condition :
Ta cosp -j- T^ sinp = o
tout le long de la section droite du cylindre puisque T2 et T, ne dépendent pas de z.
68. Je me propose de déterminer ;, tj, ^ d'après ces équations ; il sera facile ensuite de trouver les forces qu'il faut appliquer aux deux bases pour produire la déformation.
Nous avons obtenu les conditions :
dl dr^
dx dy
dy dx
Elles expriment que ; + ir^ est une fonction de la variable complexe x -\~ iy. Posons x ■\- iy = u, l'on aura :
l -}. ir, = f {ic,z)
Quelle est la forme de la fonction / ? Nous savons que :
dz dx dy
d'I , dK
dz'^ dxdz
>^ dz^ dydz
Les deux dernières relations s'écrivent en tenant compte
i70 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
de la première :
Revenons à la relation \ -\- it^-=^ f (m, a) ; différentiée par rapport à x elle donne :
dç^ ^^ .d't\ df
dx dx du
d^l .d^(P£ dx^ dx'^ du^
d'où l'on conclut en désignant d'une façon générale par A ($) la partie réelle de $ :
dx \du
dx^ ~ \duy
On aurait de même en différentiant par rapport à y :
d^\ .d\__d^r dy^ dy'^ dv?-
La partie imaginaire de ^-^ est donc aussi : — i -t-\ et l'on peut écrire :
du^ dx- dt/^
ou en désignant par * l'imaginaire conjuguée de <ï>,
^ d^l . d^ri du^ ~ dx^ dy^
Cette équation va nous servir pour déterminer f. Multiplions la seconde des équations (a) par i et ajoutons-la à la première, nous aurons :
c'est-h-dire :
ou
5P + ^ du^ - ""
r/^-^ du-
Le premier membre est fonction de u et de z, le second de M et de^, pour que l'égalité puisse avoir lieu il faut que les deux membres ne dépendent que de z.
Donc :
et par suite :
f =: a -\~ bu -\- eu-
a, h, c étant des fonctions de z. Portons cette valeur dans
dz^- -~ du^
nous aurons :
Mais H et z sont des variables indépendantes, cette relation
exige donc :
( f2 = 2Kê
] d?b \ dz'^
\ d^ \ dz'^
è et c sont par suite des polynômes du premier degré en z et a est du troisième degré.
Nous connaissons f [u,z) = ; -j- f/], c'est-à-dire ^ et t); il s'agit de déterminer X,.
Partons pour cela de la relation :
dz dx \du
On a
du
il en résulte que — est du premier degré par rapport à l'une quelconque des trois variables a?, y, z. Soit :
— = a + 82dz '
a et p étant du premier degré en a; et ?/; intégrons, nous aurons :
Mais X, doit satisfaire à l'équation :
dx^ "^ dy'' "f" " dz''-
F vérifie donc la relation :
dx- ' dy
P est un polynôme linéaire en x et y, soit — 2i = A -I- Br + Cy A, B, G étant des coefficients constant-^, l'équation en F sera AF == A 4- B.r 4- Cy Elle admet une solution évidente :
^•=Af -fB.r^ + C^Ç
Posons F = T -|- ~) la nouvelle inconnue û satisfera à:
AQ = o
Cela ne suffit pas pour la déterminer ; mais nous avons encore à tenir compte de la condition ;
To cos p -f T, sin p = o tout le long de la section droite, c'est-à-dire : (dl . d\\ . (dl . dr\ .
Or
donc
dx " ' f/y " dn
dl ni d-r
-p -^ — ■ cosj) + y sm^j = 0
dn ^ dz ^ ^ dz
Nous avons d'ailleurs trouvé :
On a par conséquent :
-r- = — d ; ; COS M — — ' sin o
dn dn dn dz dz ^
c'est-à-dire une équation de la forme :
où V est connue si on donne la section droite du cylindre.
En résumé, le problème revient à trouver nne fonction Q
de X et y, qui à l'intérieur de la section droite satisfasse à
do.
l'équation de Laplace Au = o et telle que — ait des valeurs
données sur le contour de la section.
69. Si le problème comporte une solution, il en comporte une infinité, car on peut ajouter à O une constante arbitraire. A part cette constante, Q est complètement déterminé.
Le problème a-t-il toujours une solution ? Le théorème de Green donne :
/ ^^ds = l\Qdis
la première intégrale étant prise le long du contour et la seconde étendue à toute la section. Mais l'on a Au = o, par
PROBLÈME DE SAINT-VENANT conséquent il faut :
dii
^ds = o ou f\ [x, tj] (h = o
A quoi correspond cette condition ?
Nous avons trouvé :
dn dii '" dn '^ dz ^ ~^ dz ^
et comme on a :
dx = ds. sin/)
dy =: — ds. cos p
la condition / -r- ds = o s'écrira : / dn
dn
Considérons les deux premières intégrales. Le théorème de Green donne:
d{ a5-+3dn
ds^
dH^z^^-] dH^z+^
dx"-
dif
et comme a et jî sont linéaires en a; et ?/ d(rz + p ^'
dn
— ds = o.
/dW -j- ds, le même théorème donne :
/dw r r
— ds = A'|o?{o = / f A -|- Bx -\- Gy) doy
d'après la définition de ']/.
Pour transformer la troisième intégrale, nous nous appuierons sur une autre forme du théorème de Green:
/--+-.-/(:fl-7:;)-
Elle donne :
d-c, , dl , f d-^l dS
Mais nous avons les relations :
dxdz dijdz K dz^ et comme
on a aussi :
La relation
g=8 = -|(A-fB^ + Ct/)
dO
—- ds = 0
dn
s'écrit donc :
r (Â + Bx -f- C//'i ^/co — T^ Aa -\-Bx-\- Cy) c/co = o
ou encore
(l-|)/(AH-Ba.+Cy)rfco=o.
Le facteur 1 — — qui est \ , "'" n'est pas nul, on a donc
/"(A + Bo? -f C?/) f^o) = o.
Prenons comme axe des z la parallèle aux géne'ralrices qui passe par le centre de gravité de la section. On aura
/ ocdiù = 0, / yditi = o.
Il reste A / c/w = o et comme / dw qui représente l'aire
de la section n'est pas nul, cela exige que ion ait : A = o. A quoi cela correspond-il? On sait que A est le terme
constant de -r-^ à un facteur près.
Or
donc
■dz \duj
dX dz
|=K.(g)+.K».(|) ce qui donne:
ÉLASTICITÉ. l-
La condition pour que le problème soit possible est donc
que la partie réelle de -7- soit nulle, c'est-à-dire que -r soit
^ ^ dz ^ as
purement imaginaire.
Combien y a-t-il de constantes arbitraires dans la solution que nous venons de trouver ?
Nous avons
f = a -\- bu -{- cu^
a étant du troisième degré renferme quatre coefTicients, h et ■e en contiennent chacun deux, mais comme c est déterminé quand on connaît a, d'après la relation :
cV^a ^,.-
— = — '2Kr' dz''- '
il n'y a en tout que six coefficients complexes, c'est-à-dire
douze constantes réelles. On connaît alors az -|- B ^ et ^, il
reste à déterminer Q, ce qui introduit une constante de plus.
Mais la condition A ( — ) = o en fait disparaître une, il n'y
a donc finalement que douze constantes.
Les quantités ç, r,, C dépendent linéairement de ces douze •constantes. Si donc on trouve d'une manière quelconque douze solutions particulières indépendantes, on aura la solution générale en les combinant linéairement.
Il y a six de ces solutions qui sont évidentes, ce sont les six déplacements que le cylindre peut subir sans se déformer.
Les six autres seront données par des déformations simples correspondant à une traction ou compression, une torsion et quatre espèces de flexions. Nous les déterminerons plus loin.
PROBLÈME DE SAl.NT-VENA.NT 179
70. Nous avons VU que ; + '''. '^lait une fonclion de z<, c'està-dire de X -{- iy, nous allon? donner une interprétation géonmétrique de ce fait.
Considérons dans une section droite du cylindre avant la déformation deux courbes AB et AC. Soient A'B' et A C ce qu'elles deviennent après la déformation. Projetons A'B'C sur la section droite, désignons par A"B" et A"G" les projections.
Au point [x, y) de AB correspond un point (a* -\-\, y -\- r^ qui appartient à A"B". Comme ; + *'^i ^^l^ fonction de .r -j- ey, il en est de même de [x -{-\) -\- i [y -\- y,), c'est-à-dire que l'on passe de AB à A"B" par une transformation conforme. L'angle des courbes A"B" et A''C" est donc égal à celui de AB avec AC.
D'autre part, si on considère le plan des tangentes en A' aux courbes A'B' et A'C, ce plan fait avec le plan ABC un angle inûniment petit de l'ordre du déplacement. Donc la différence entre l'angle B'A'C et sa projection B"A"G" est un infiniment petit du second ordre. On peut donc dire que
angle BAC = angle B'A'C
c'est-à-dire que l'angle de deux courbes situées dans une même section droite n'est pas altéré par la déformation.
71. Lorsqu'on a choisi f ^= a -\- bu -\- eu- nous savons que pour déterminer X. il faut encore trouver la fonction Q telle que AQ = o à l'intérieur de la section droite et que
^- = V sur le contour de cette section, V étant une fonction an
connue de x et de y.
Nous allons examiner les cas où l'on sait faire la détermination de Q.
Traitons d'abord le problème pour un cercle. Nous prendrons des coordonnées polaires p, 9. La forme la plus générale satisfaisant k ^Q, = o est si Q reste fini au centre :
Q =VA„r" cos nv -|-VB„r" sin^cp
Pour déterminer les coefficients A„ et B„ nous nous servirons de -^ = V pour r =: ?\,, r^ étant le rayon du cercle.
V est une fonction périodique de cp , de période 2-k, on peut donc l'écrire :
et l'on a :
Vc„ coswcp -|-^U« ^''^^^?
=;VwA„?-(j"-' cos ?i'^ -l-VwB„r„"-' sinncp
Identifions, nous en déduirons :
7ir
ii-i
Dans le problème particulier de Saint-Yenant, la série V se réduit à trois termes, la solution est donc très simple.
Si, au lieu d'une section droite circulaire, on avait une section droite annulaire, on prendrait
( VA„'r" cos wcp -f-^ B/i'"" sin ncp
