Considérons un parallélipipède rectangle d'arêtes parai

lèles aux axes. Supposons que les longueurs de ces arêtes soient MM^ = oœ, MMg = Sy, MMg = 5^, Après la déformation, il est assimilable à un parallélipipède oblique dont les arêtes ont pour longueurs :

ta) (1 -]- a/j, oy (1 + a..^), oz (1 -\- ag)

et font entre elles des angles égaux à

7T ft ''^ a "^ r 2 n ' § P2' 2 ^3"

Que devient le volume de ce parallélipipède?

11 est égal au produit de sa base par sa hauteur; or cette hauteur est égale à M'M 3 aux infiniment petits près du troisième ordre (on l'obtient en effet en multipliant M'M 3 par le cosinus d'un angle infiniment petit du premier ordre). Donc le volume cherché est :

hx.Zïj (1 + a< -}- as) 0^ (1 + ag), c'est-à-dire :

S.r.ûî/.o^ (1 -f a, + a2 + a3).

Nous poserons : 6 = a, -J- a2 -f- «3, et l'expression du volume sera: Zx.Zy.oz [i -)- 0).

8. Considérons un volume infiniment petit v de forme quelconque. Ce volume peut être décomposé par des plans parallèles aux plans coordonnés en une infinité de parallélipipèdes rectangles infiniment petits, non seulement d'une manière absolue, mais encore par rapport au volume v. La déformation aura pour effet de multiplier le volume de chacun d'eux par 1 -j- 9 ; clone le volume v deviendra v {l -\- 6).

ÉTUDK CINÉMATIQUE DES DÉFORMATIONS 9

La quantité 0 s'appelle dilatation cM62<2'î<e. D'après sa définition, elle est indépendante du choix des axes. Donc, en un point donné, la somme des trois dilatations linéaires relatives à trois axes rectangulaires quelconques est constante.

9. Ellipsoïde des déformations. — Cherchons ce que devient par la déformation une sphère de rayon infiniment petit e.

Soit M le centre, M, un point quelconque de la sphère; après la déformation, M vient en M' et M^ en Mj.

Soient 07, y,^les coordonnées de M'; x-\- Ix^y -\- ly,z -\-oz^ celles de M{; d'après une remarque faite plus haut, les coordonnées du point M seront x — \, y — -/i, z — Ç, et celles de M,