CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES. g
Le déterminant
0 = A 1 1 «22 — Aj2 À 2 1
de la substitution est supposé essentiellement différent de zéro, de façon qu'on puisse écrire inversement
8a?j = Àoo.r-, X12a?2J ty[= ' 2 -2 . > ' 1 — )-12j-2>
Ôr'2 = — À2l^l-+- ^11^2, ^8 = X21JK1-+- ^llJKîJ
Des formes linéaires telles que ç, x( + £2^25 rn x\ -+■ '^2^2-, • ■ • deviendront \\ x\ + \'.2x'.v t\\ x\ + ri'2x'2, ... et l'on aura par suite
>l 1 fc 1 1 £ ' ^i .
Ç 1 — Al I Cl -r- A2i ;-2» ri 1 AnTjj -+- A2lT(2,
Ç3 =^= Ai2Çi-+- A22Ç21 Ti2 = A12T(1 "*" A22r,2j •••>
ou inversement
OÇi — A22;i — A21?2, 07ll — A32ll A21^2>
OÇ2 — — A12Ç1 "+" AilS2J ÛT)2 — Mï''||-r''llT|0,
Les variables de seconde espèce se trouvent donc, elles aussi, transformées par une substitution linéaire, dite substitution transposée de celle faite sur les (x), (y), ... et dont le déterminant
est ^*
Transformons ainsi toutes les variables de première ou de seconde espèce qui entrent dans le système S, et aussi celles qui figurent dans les formes f, g, ... de ce système : il est bien entendu d'ailleurs que si dans S figure une forme linéaire (a|#), par exemple, où les (a) sont constants, on ne transforme que les (x). On obtient ainsi un nouveau système S', composé des nouvelles variables et des nouvelles formes y, g\ . . . , qui est dit transformé du système S par la substitution cr.
Il est évident que les nouvelles formes f, g', . . . sont respectivement des mêmes degrés par rapport aux diverses séries de variables nouvelles que les anciennes formes f, g, ... par rapport aux séries correspondantes de variables anciennes. Si donc on avait
/= CtxVy<l...V-C? ,
nous écrirons
Les relations entre les coefficients (a) et (a') de deux formes
transformées l'une de l'autre, telles que / et /', sont faciles à former. On a
À22 t, Agi •., Au t, ^11 f.,
désignons alors par (#), (jk), ..., (£), (r,), ... de nouvelles variables ne figurant pas dans /, et considérons la polaire multiple
OÙ
Si = ii = -
St= '/ii =••
Le coefficient
"rl.pi\q,.qt;.. ;7t,,1T,;pl>p,;.. .
est évidemment égal à la valeur de cette polaire lorsqu'on y fait :
^'2 = j'i = . . . = À^i > a?i = yj = . ..= X,2,
3"> — J)'2 = • • • = Xjj,
Les (a) s'expriment aussi facilement à l'aide des {a1).
Si le système S est constitué par n couple- de variables et par des formes dont les coefficients sont en nombre total N, nous avons ainsi P = in + N relations distinctes entre les P éléments constitutifs du système S et les P éléments correspondants du système transformé S'; ces P relations dépendent (railleurs des quatre coefficients (\) de la substitution ?.
12. Les relations dont nous venons de parler forment un système de P équations de transformation pour les éléments du système S, dépendant des quatre paramètres (a). Ces équations sont linéaires par rapport aux P anciens éléments, et si on les met sous forme entière, le déterminant des coefficients de ces P anciens éléments est une fonction des (),), qui est nécessairement une puissance de o, puisque inversement on peut exprimer les anciens éléments à l'aide des nouveaux, sans ambiguïté, quand o
