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dF N

la puissance qui figure au second membre étant symbolique, c'està-dire que, dans son développement, le produit

( ôF Y [àuj

où

Ah

doit être remplacé par — ; — " x ,

r l du\làuf£àu\>...

Pour h = o, la polaire est la fonction F elle-même ; pour h = m, la polaire est la fonction F où l'on a remplacé les (u) par les (r); d'une façon générale, le degré de la polaire par rapport aux (m) est diminué de h, tandis que son degré par rapport aux (c) est augmenté de /*, et est simplement h si F ne contient pas les (c). On peut envisager les polaires des polaires de F, et ainsi de suite, c'est-à-dire des polaires multiples de F, si F dépend de plusieurs séries de variables («), (u'), • ■ • On a évidemment D*,(DkF)=DS,(D*,F)=n*+*F,

les (c) étant indépendants des (u)', plus généralement, on a

l'identité

sous la condition unique que les quantités (u) et (c') sont indépendantes les unes des autres et qu'il en est de même des quantités (V) et (v).

Dans ces mêmes cas, les polaires multiples se représentent immédiatement sous forme de produits symboliques analogues aux puissances symboliques employées ci-dessus.

10. En particulier, on peut envisager les polaires d'une forme binaire considérée comme fonction des variables. Si / est une telle forme

nous écrirons, par exemple,

Dj£,[D£t(D£r/)] = axp-h}i+hzr- i/.+i.. ^«-i^e-Hi...,

à condition toutefois qu'il n'en résulte aucune ambiguïté, ce qui revient à supposer que l'on peut intervertir l'ordre des opérations représentées par les symboles D.

Si y* ne dépend que des variables (x), soit f = a^p, la polaire dxP-hjh définit, quand on l'égale à zéro et que l'on regarde (y) comme un élément donné, p — // éléments qui forment le système polaire d'ordre h de (y). Si (x) appartient à ce système, inversement (y) appartient au système polaire d'ordre p — h de (x), car on a

On pourra aussi envisager les polaires d'une fonction F des coefficients (a) et (b) de deux formes semblables relatives aux (a) remplacés par les (b).