IV. — Les invariants métriques
J33. Dans le cas général, les mouvements forment un groupe; on peut donc, pour ce groupe, construire des invariants absolus d'un système binaire S quelconque. En gardant les notations déjà employées au Chapitre I, ces invariants seront distincts en nombre P — 2, en général, et seront les solutions des deux équa-
lions aux dérivées partielles
Alt F — A2-2F = o, — AoAjiF + AjCAuF — A„F)4-A,A,sF = o,
qui forment un système complet.
Ces invariants, dits invariants absolus métriques du système S, peuvent être choisis rationnels par rapport aux éléments de ce système; au point de vue géométrique, il- correspondent à l'exisiruce de propriétés métriques <il>s<>hifs du système S, quand ils sont homogènes el de degré zéro par rapporl aux diverses séries de variables et de coefficients qu'ils renferment, ainsi que par rapporl aux coefficients (A.) de l'absolu. Us comprennent eu particulier les invariants absolus ordinaires du système S.
Pour former les invariants absolu- m. triques de système S, considérons le système S, obtenu en adjoignant au système 8 l'absolu F = AX*. Les invariants absolus ordinaires de ce nouveau système S, sonl distincts, en nombre I' 1 en général; <eu\ d entre eus qui sonl homogènes el de degré zéro par rapport aux coefficients | \ de l'absolu -"ni distincts, en nombre 1* 2 en général, ci lormenl évidemmenl un système fondamental d'invariants absolus métriques pour le système S.
La théorie des invariants absolus métriques ci ainsi ramenée a
celle des invariants absolus ordinaire-, ainsi qu'il était facile de le
prévoir.
13 i. On peut de même envisager des invariants non absolus qui se reproduisent à une fonction près des paramètres des substitutions qui caractérisent les mouvements.
Ils vérifieront le- deux équations aux dérivées partielles
AllF-f-A„F = fxF, — AoAMF-i- A,(AnF — A„F) V,AISF= vF,
{i. et v étant des constantes quelconques; leur existence correspondra à celle de propriétés métriques accidentelles pour le svstème S.
Sans insister sur l'élude directe de ces invariants, leurs propriétés sont suffisamment mises en évidence si l'on remarque
