CHAPITRE X. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE BINAIRE

qu'on peut les obtenir tous de la façon suivante : on formera d'abord les invariants ordinaires du système S( envisagé précédemment, invariants qui sont distincts en nombre P — i, en général, si l'on fait abstraction du discriminant de l'absolu, et se reproduisent à des puissances près du déterminant ()»[a) de la substitution s-, si on les suppose homogènes par rapport aux (A) ; puis on leur adjoindra, par exemple, le premier membre de l'équation de l'un des éléments de l'absolu, soit

fonction qui se reproduit au facteur - — — = près quand on

fait la substitution <r.

Avec ces invariants, il est facile de former tous les invariants métriques du système S.

On remarquera que w, — w2 \J — D est l'un des facteurs de ()*.{/•) considéré comme forme quadratique en w, et o>2.

Dans le cas où le système S ne comprendrait pas de variables (x), il serait facile de remplacer l'invariant particulier que nous avons défini en dernier lieu par un autre analogue.

135. Supposons maintenant que l'on se trouve dans le cas spécial et qu'il s'agisse d'abord des similitudes.

On définira des invariants absolus, métriques, distincts en nombre P — 3, en général, vérifiant les équations d'un système

complet

A2 An F — A, A21F = o,

- A.2 A12F -t- A, A22F = o, AJAuF-hA.; A21F =o;

on les formera comme précédemment en adjoignant au système S la forme &x, et prenant les invariants absolus de ce nouveau système S, qui sont homogènes et de degré zéro par rapport aux (A). Les invariants métriques non absolus vérifieront

A2 AnF — A, A21F = fiA2,

— A2 A12F -+- A, A22F = fiAj,

A!A12F + Af A2iF = vA2,

<j. et v étant deux constantes quelconques.

On les formera comme précédemment, en adjoignant Ar au système S,. Ils se reproduisent à des puissances près de (a;j.) et du facteur A |A2 h)3 de ( \j-)-

136. Emisageons enfin les mouvements dans le cas spécial, il y a en général P— 2 invariants absolus métriques vérifiant les

équations du système complet

A* An F — -~ A,, F Au F. <>

A ,2 I- f- AjiÏ \ 1 A JL. T o,

obtenues en remplaçant u>3 par : v ■

1 iAj 1 \>

< >ii formera I* — 3 invariants distincts comme au auméro précédent, et l'on pourra ensuite en former un dernier en remarquant

y. : ( - I et que Vr= - A., ; si donc

F est un invariant ordinaire non absolu du système S <|in soit

d'ordre 'j.. il est clair que I* \ \.' est un invariant métrique absolu.

Les invariants métriques non absolus vérifieront !<•> équations

\,a,,|- -V A,,F V' Aji '•' •*'••

— ^; A,, I V A,, F A, A,, F vF,

<x et v étant des constantes quelconques.

On en formera I* — 1 comme au numéro précédent, qui se reproduisent à des puissances près de I / ■>. . et <>u leur adjoindra e°

par exemple, puisque la distance xx' est constante.

/( Vj tl)| — - \ 1 U>] I

OyX' Oj / ./ •/

A, Agi AjU)| — Ai toj)

On aurait pu appliquer le même procédé dans le cas général ; mais il n'aurait rien donné de nouveau.

137. Pour préciser davantage ce que nous venons <l< dire, supposons que l'on ait dans le cas général F = 2Aixix2', alors, on peut en ebangeant les paramètres, écrire les mouvements sous la