I. — Les formes ternaires. Définitions et généralités

138. Soient x{, x2, x3 trois variables pouvant prendre toutes les valeurs possibles : en associant ensemble trois valeurs déterminées quelconques yK, y2, y3 attribuées à ces trois variables, on peut définir un élément géométrique {y).

Si nous supposons que x{, x2, xs restent toujours finies et ne s'annulent pas en même temps; si, de plus, nous supposons que deux éléments [y) et (z) sont identiques lorsque les trois déterminants

(y~)i =72*3— 73-2, ( yz )2 = jk,zi— 71*3, 0-)3 = ji-2— y-i~\.. que Ion peut tirer de la matrice (yz), c'est-à-dire

sont nuls, et seulement dans ce cas, nous aurons ainsi défini un ensemble doublement infini et continu d'éléments (x) : à chaque

système de valeurs des rapports ~» \- par exemple, correspond

un élément (x) et un seul; et réciproquement. Nous dirons, par suite, que ces éléments (x) remplissent un espace à deux dimen-

sions, E.

Les coordonnées de l'élément ( r) sont py{, zy,, :>•-,, p étant une quantité quelconque finie et non nulle. Les éléments particuliers 0(, Oo, 03. qui correspondent respectivement aux hypothèses x,= x3 = o, x%= x, = o, x{ = .r2= o, sont les éléments fondamentaux ou éléments de référence.

139. Une forme linéaire par rapport aux variables (x). soit £, xf -h ^-2x-2 + ^3 ^3. ou pour abréger (£|.r), définit, quand on l'égale à zéro, une série simplement infinie d'éléments (x), dont les coordonnées vérifient l'équation (£ x) = o.

Une telle série est définie par les rapports des quantités (Ç), qui se comportent à son égard absolument comme les coordonnées (x) à Tégard de l'élément [x . Ces séries sont des éléments géométriques nouveaux résultanl des premiers et dont les (?) sont les coordonnées. Nous dirons de ce- éléments (£) qu'ils sont de seconde espèce par opposition ans éléments (x), qui seront de première espèce. Ces deux sortes d'éléments remplissent le même espace I..

La symétrie de l'équation (jj|:c)= 0 montre que les (.r) jouent le même rôle par rapport aux 1 : 1 que ceux-ci par rapport ;m\ (x). (l\x)=o <•>( V équation de l'élément (ç) donné, en ce sens qu'elle définit les éléments 'x) variables qui constituent ce (£); cY>t aussi bien V équation de l'élément (x) donné, en ce sens qu'elle définit les éléments (Ç) variables dont L'ensemble constitue cet (x).

Nous dirons de deux éléments | x | et (£) vérifiant la condition (ç | x)= o qu'ils se contiennent l'un l'autre, ou qu'ils appartiennent l'un à l'autre.

Comme précédemment, nous affecterons les lettres latines aux éléments de première espèce, les lettres grecques aux éléments de seconde espèce.

Sans aller plus loin, voici des exemples tirés de la Géométrie ordinaire auxquels on peut appliquer ce que nous venons de dire. Si l'espace E est un plan, on peut prendre pour éléments de première espèce les points ou les droites de ce plan; les éléments d'espèce opposée sont les droites ou les points de ce plan. Si l'espace E est un point, on peut prendre pour élément de première espèce les plans ou les droites qui passent par ce point; les