CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES TERNAIRES

éléments d'espèce opposée sont les droites on les plans de ce point. On peut encore considérer les (x) comme définissant les coniques d'un réseau; alors aux (;) correspondent les faisceaux contenus dans ce réseau, etc.

iâO. Un élément (£) est défini par deux éléments (y) cl (z) distincts. Si (x) est un élément de (£), on a

OC* CC j

ou ce qui revient au même

iy*h " (yzh " (y*h

L'équation de (ç) étant (xyz) = o, on peut écrire

X\ = AjJ)'! -+- A., Z\ ,

ou, pour abréger, (/ = A,r + L;); réciproquement, un tel élément (o?) appartient à l'élément (ç) défini par (y) et (z), et qui peut se représenter par (yz).

On peut par suite considérer (ç) comme un espace à une dimension, rempli par des éléments géométriques (x) dont les coordonnées sont les (X); les éléments fondamentaux y sont (y)

et(X>.

Tout ce que nous venons de dire peut être répété sans peine en échangeant les éléments des deux espèces : il est inutile de le faire explicitement. C'est là d'ailleurs une remarque faite une fois pour toutes, et qui s'appliquera à tout ce qui suit.

Les éléments fondamentaux de seconde espèce û4, Q2, Q3 correspondent respectivement aux hypothèses £2 = H3 = o, ç:5 = ç, = o, ![, = £., = o. D'après ce qui précède, on voit que Q, et (02 0:î) sonl un seul et même élément; il en est de même de 0( et (Q2Q3).

L'ensemble Ot0203 est une suite de trois éléments ou suite triple de première espèce; l'ensemble Q{ Q2^3 est une suite triple de deuxième espèce : ces deux suites sont équivalentes.

En général, si l'on se donne une suite de première espèce O,, 02, 0;t, . . ., 0„, composée de n éléments, pris dans l'ordre indiqué, on en déduit une suite équivalente de seconde espèce, composée des éléments (0,0,), (0203), (0,04) (0„( 0„), (0„0,).

141. Une forme ternaire se définit comme au n" 4; on écrira, en gardant les mêmes notations

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Pu P21 />'■■> par exemple, sont trois entiers non négatifs dont la somme est />.

Nous pouvons répéter ici, presque mot pour mot, ce que nous avons dit au Livre I après avoir défini les formes binaires : les changements à faire sont pour ainsi «lire évidents. Nous nous contenterons donc d'insister sur quelques points particuliers.

Si une forme f ne contient qu'une seule série de variables, l'équation f= o délinil un ensemble simplement infini d'éléments /•) ou (ç) suivant le eus, dont nous dirons qu'ils forment une série de première ou de seconde espèce.

Si /'est de degré p par rapport aux variables, la série correspondante est dite de degré /> : son équation contient coefficients, et par suite elle est déterminée au point de vue géo-

métrique par la condition de contenir — — [éléments

donnés d'une façon quelconque.

Une série linéaire de première ou de seconde espèce est un élément de seconde ou de première espèce.

Les définitions relatives au poids subsistent entièrement, mai-, il faut distinguer un poids par rapport à chacun des trois indices 1. 2, 3.

142. Une forme /' telle que axt ne peut pas se mettre en général sous la forme d'un produit de facteurs linéaires.

Dans certains cas, cependant, cette décomposition est possible, de sorte que l'on peut écrire