CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTÈMES TERNAIRES. l5l

alors on a des relations telles que

P ..a, at ...a ar . . . <*r a3 . . . a^ - ap,,pt,pf

Les premiers membres de ces relations sont les fonctions symétriques fondamentales des coordonnées des p éléments de seconde espèce (au)) dont l'ensemble est défini par l'équation f= o. Toute fonction symétrique de ces coordonnées, entière et homogène de même degré m par rapport aux divers systèmes (a(j)), peut s'exprimer en fonction entière des («) ou, ce qui revient au même, des fonctions symétriques fondamentales. Gomme au n° 8, il suffit de le montrer pour les fonctions de la forme

S ( ai,' » )'".( 2;3' > )'"»( af,2 ' )>» ( a',3) »'" •-■( a'/")'",

où l'on a />?o-l- m3= m.

Si alors, dans y, nous faisons x*:,= A/2, on obtient une forme binaire égale au produit n[a(,"a:, -\- (a," + ),a(!',).r2].

Si pour cette forme on calcule la fonction symétrique

Z( a'j1 ' -+- Xa'3' ' )'« ( a'2» )'" . . . ( a;/'> )'«,

le coefficient de p — '"— à7"* dans cette expression sera évidemment

* m* * tu ^

la valeur de la fonction considérée.

En général, une fonction symétrique du degré m par rapport à chaque système (a(/)) sera du degré m par rapport aux coefficients («); elle sera de plus isobarique par rapport à chaque indice, et de poids facile à calculer.

143. La considération des polaires conduit en particulier à définir, pour une forme /'= axp et un élément donné (y)-, une série dont l'équation est axp-hy' = o, et qui est dite la //1L'me polaire de (y); elle est de degré/» -- h. Si(.r) appartient à la hirme polaire de (y), inversement (y) appartient à la (p -- h)ièwe polaire de (a:).

La (p — i ),,Mne polaire de (y) est une série linéaire.