II. Les substitutions linéaires et les invariants

144. Transformons un système ternaire S, comme nous avons transformé au n° 11 un système binaire, par une substitution

linéaire g-, de façon à introduire de nouvelles variables (#'), définies par

X\ == A, , ./ j -f- A1;./\, — Al-,.7'^ . JT2 = A -> ; ./ ' j -f- / o-i ./'., - A i • /' j ,

= À3|a-', -+- Xs,ar'2-f- X33

Le déterminant o de celle substitution est supposé essentiellement différent de zéro, de façon que l'on puisse écrire inversement, en appelant a,/ le coefficient de ).,y dans le déterminant û :

8a?', = (Ji|, ./-, — jxjja?, — p„ ,r3.

8a?j = 'J. i > -r-, — >— Uj . ./■. ;'.■';!,

Une forme linéaire {'-■>• devient par cette substitution (;'|j ii. supposant ces deux formes identiques, on a pour définir les(i

- I ^llÇ|-r- AjiÇ] ' :| ;i,

ou inversemenl

Les variables de seconde espèce sonl dune transformées par la substitution transposée de celle faite sur les (x); le déterminanl

de celte subsl ilution est ^ •

Lo généralités indiquées à propos de la transformation des systèmes binaires subsistent ici entièrement, à quelques modifications é\ identes pi

Les P relations qui existent entre 1rs éléments '\i\ système S el les éléments du système transformé S' sont toujours faciles à former : ce- relations dépendent d'ailleurs des neuf coefficients (À) de la substitution -y; elles appellent les mêmes remarques qu'au n° 12. On voil de même que l'ensemble des transformations o- (orme un groupe à neuf paramètres, fini et continu : deux substitutions ff successives se composent d'ailleurs comme dans le domaine binaire.