CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTÈMES TERNAIRES

Les substitutions n peuvent être interprétées, au point de vue géométrique, exactement comme au n" 13 : elles définissent soit des changements de coordonnées, soit des homographies entre des espaces distincts ou coïncidants. Au point de vue géométrique, une substitution a- ne dépend d'ailleurs que de huit paramètres, de sorte qu'une homographie par exemple est déterminée par la connaissance de quatre couples d'éléments correspondants.

145. Il existe pour le système S et les transformations t des invariants absolus que l'on peut choisir indépendants en nombre P — /?, p étant un nombre en général égal à 9, mais qui peut être inférieur à 9 et qui est déterminé par la considération des déterminants tirés d'une matrice analogue à la matrice M du n° 17.

Ces invariants absolus peuvent être choisis rationnels par rapport aux P éléments du système S, ce que nous ferons toujours. Les invariants absolus géométriques se définissent et s'interprètent comme au n" 19.

Le groupe des transformations a- contient neuf groupes particuliers à un seul paramètre, définis par les substitutions des deux types suivants :

/ .r, = x\ ewn, / xi = x\ -+- u>i2a7'2,

ces groupes sont engendrés par les substitutions infinitésimales du groupe total, et engendrent eux-mêmes ce groupe.

On en déduit que les invariants absolus du système S sont les solutions du système des neuf équations aux dérivées partielles linéaires et homogènes A/y F = o, où l'on trouve facilement

dF dF

â||F(e) = -*ig£; -...+ & ^+...

dF

-y( Pi ~^~Çl "+" • • • — ,Ll — ?1 — • • • )&p„pi,p3;...;TZ,.,K..T:3;.

àF , àF

/>,.p,./>,i....;TZl.T..,K3;l

àF

[p%apr

— ~1 #■/,,, />;,/>3;...;7ll— l,7tj+l,ir3;... — •••] + •

1 rz'~pl+l,pî—l,pi;...;%t,izî,,K

J "/>!,/>;, /'al-- -lit,, 7t;.7ls;...

Ces neuf équations se réduisent à p distinctes, formant un sys-

r 5 î LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

tème complet; on vérifie aisément les identités des types suivants, où les indices î, y, /. désignent des nombres différents

A,/Ay7F — A,7 A,7F =o,

A//Ay/F — Ay/A//F = -Ay/F,

A,7Ay7, F - \j/, A,7F = o,

A/yAy/F — Ay/A/yF - A//F-AyyF,

A/y A/a F A,/. A/yF

Ay/A^F — A*/ Ay/F o,

A/y A*/ F -A*, A/y F = -AfryF.

1 16. Le ^\ -t ('me S admet aussi des invariants propremenl dits, qui se reproduisent à une fonction près des seuls coefficients (X). Ils vérifient les équations

A// F - [xF, A/yF - ->.

ci se reproduisent à St* près.

On peut former un système fondamental d'invariants entiers, p. ir rapport aux éléments du système S; ils sonl eu nombre I* — /> -+- î , sauf exception é\ idente.

Un invariant .i I > - « > 1 1 1 peul toujours être supposé entier el

homogène des degrés /. . / /.. / //,/>', ..., par rapport

aux diverses séries de variables (./•;, | y) (£), t vt ). . . . , et de

coefficients (a), (6), . . . qui constituenl le système S. Si ces coefficients sont eni\ des l'"i 'mes /'- --</,,., f -.-r . u = l>,r , / .. \-r,f ..î ■•■■> ci, si ui esl l'ordre 'I'- l'invariant considéré, on a la relation

3 ft = (p -+- q -+- . . . — - — '....m

-+- | /> ■ if 4- ...— -'— -J — ...)«' -+- ... — k —/—... -+■ X -f- 1 -+-

Les invariants mm al^nlus peuvent être pris pour les invariants absolus du groupe particulier formé par les substitutions ? dont le déterminant esl égal à î .

Un invariant entier est îsobarique et de poids >x par rapport à chaque indice; il esl droit ou gauche suivant que u est pair ou impair; si l'on permute dcu\ indices, il se multiplie par ( — i)^.

Le théorème de Gordan relatif à l'existence des systèmes complets d'invariants subsiste dans le domaine ternaire.