CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTÈMES TERXAIRES. i

Les invariants s'interprètent au point de vue géométrique comme au n° 30.

Les théorèmes généraux des nos 31 et 32 subsistent sans modificat

ion.

Ii7. Si l'on considère un invariant d'ordre p. du système S, F = Ax*jï.,.ç»ïj\.., ses coefficients vérifient, comme au n° 33, d'importantes relations faciles à former. Regardons-le comme ne dépendant que des trois séries de variables (x), (y), {'•), et soit

le coefficient AAooo/0;00,„, des poids respectifs [J- + A', [.<• + /, [A + /w, par rapport aux indices i, 2, 3 est la source de l'invariant F; car l'application des opérations A,/ à ce coefficient permet aisément d'en tirer tous les autres.

Si deux tels invariants ont même source A, des poids respectifs P, , P2, P3, ils coïncident s'ils sont des mêmes degrés; sinon, ils ne diffèrent que par une puissance de l'invariant évident (xyz), car on a simplement

JJL H- A" = P , , -Jl+/=P2,

Soit A une fonction entière quelconque, isobarique des poids respectifs P,, P2, P3, dépendant des éléments du système S autres que les (x), les (y) et les (z). Si on lui applique les opérations A,3 et A23 plusieurs fois de suite dans un ordre quelconque, on finit nécessairement par tomber sur des résultats nuls; si m est le plus petit nombre tel que les quantités A^3A?3A, où p -f- q = m -+- 1, soient toutes nulles simultanément, A est la source d'un invariant dont l'ordre et les degrés sont déterminés par les relations précédemment écrites, m recevant la valeur que l'on vient de trouver, et cet invariant n'est pas divisible par (xyz).

On calculera d'abord les coefficients A/i00.0t/0.mum„,„3 par l'application des opérations A,3 et A23. On pourra ainsi former le coefficient de x\y\ dans l'invariant cherché; ce sera une fonclion isobarique des poids \x -+- Â', jj. -f- / et a, qui vérifiera évidemment les équations A,3F = o, A23F = o, ces opérations s'appliquant aussi aux (5); on en déduit sans peine que l'on a A"^o, /=o, comme au n° 34.

Celte fonclion peut être considérée comme la source de l'invariant cherché, quand on le regarde comme ne dépendant que des lœ) et des (y)', elle permet d'y calculer le coefficient de xt, qui sera une fonction isobarique des poids u, + A-, u et u., et qui \ érifiera les équations A)3 F = o, Ao3F = o, A, 2F = o, A32F = o, les opérations s'appliquant aux (y) et aux {z)\ le calcul est possible comme au n° 3i.

Enfin ce coefficient peut être considéré comme la source de l'invariant cherché, regardé comme fonction des (x) seuls; et le calcul est possible.

Nous n'insisterons pas davantage sur les nombreuses propositions particulières que Ton peut tirer de ce qui précède. Nous remarquerons seulement qu'on pourrait étendre facilement ce que nous venons de dire au cas où l'on considérerait des invariants F de la forme Ax»ç»; il suffit en effet de remplacer les (£) par les déterminants de la matrice (yz) pour être ramené au cas précédent.

La source A.#00;XOO d'un tel invariant vérifie les équations Aj;F o, A32F o, et l'on a P2 = Pal la réciproque est vraie.

1 i<S. Si Ton considère une fonction entière G des éléments du système S, isobarique des poids P,, P2, I',. l'opération Aiy appliquée successivement à cette fonclion conduit toujours à un résultat nul; on en déduit, tomme nous l'avons déjà dit, que si l'on a A,yG = Oj on a I', Py, comme au n° 3i; en particulier si P|= l'y, on a aussi Â//G = o.

Si l'on a à la fois A|2G = o, A .... < i o, on en tire, à cause des identités qui existent entre les opérations A/y, AJ3G = o.

Les fonctions G qui vérifient les deux équations A,2G = o, Aj:,G=o sont dites semi-invariantes; ce sonl des invariants pour les substitutions définies par X2) = ^31 = ^32 = o; elles reproduisent multipliées par ).''', '/.[ ',:, /.',':,. Si l'on a P4 = P2=P3, G est un invariant proprement dit du système S, d'après les remarques faites plus liant.

I 19. Enliii nous remarquerons que les notions relatives aux systèmes invariants, aux invariants multiples et en particulier aux combinants, s'étendent sans modification aux systèmes ternaires.