AL AL AL

dxi dx2 àx3

dk dk dk

ôxi dxo dx3

àg àg dg

Oxi dx-i dx3

la puissance qui figure au second membre étant symbolique.

De même encore si/dépendait des (.#), des [y) et des (s), on aurait l'invariant

dxidy2àz3 dx2dy3dzl àx3dyldzî

dx\dy^àz2 dx2dy^dz3 dx3dz2dyx

De même aussi les invariants K. et J se généralisent et s'appliquent encore au cas où les formes contiennent plusieurs groupes de variables.

loi. L'invariant J (/, g, h), où l'on supprime l'indice i, est le

icobien des f< au n° 46, on a

jacobien des formes f, g, h ; si l'on pose/", = - —■> . . . , comme

Ij UtJÇ \

Hf. ff,h) =

A A A g\ gt g»

I j8 LIVRE 11. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

C'est aussi le délerminanl fonclionnel de formes/, g, h ; il esl nul identiquement dès qu'il existe une relation entre ces formes, cl réciproquement.

Si /, £", h sont des mêmes degrés, leur jacobicn est évidemment un combinant.

Si les formes /, g, h admettent en commun l'élément (je), leur jacobicn admet aussi cet élément; si de plus les degrés de/, i'. Ii sont égaux, les dérivées partielles du jacobicn admettent elles-mêmes cet élément.

La condition J ( /'. g: h ) = o exprime que les [p — i)ièmes polaires de (.n par rapporl aux séries/, g, h ont un élément commun.

On a aussi, en particulier,

fit ./■-'- /«

/il /»3 J II

( le délerminanl est le hessien de/. Nous le rencontrerons plus loin.

152. On exprimera comme au n" 50 que n formes quelconques semblables renfermant chacune n coefficients sont liées par une relation linéaire à coefficients constant-.

Si le nombre des formes données esl inférieur au nombre des coefficients, on peul écrire (pie ces formes sont liées par une relation linéaire, en écrivant qu'il en est ainsi <\c l'ensemble des formes données et d'autant de formes semblables arbitraires qu'il y a d'unités dans la différence entre le nombre des coefficients cl le nombre des formes données.

M;iis on ne peul plus, en général, comme dans la géométrie binaire, remplacer celle condition par une autre plus simple, en introduisant une seule forme auxiliaire, et cela pour plusieurs raisons.

En effet, si nous supposons données q formes semblables à une seule série de variables, /, , />, . . . ,/?, de degré p, dépendant par

-uitc chacune de — — coefficients, et si g est une forme

arbitraire de degré p — /', de sorte qu'il existe