CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES TERNAIRES

formes telles que xr{lx'£xrJg, la somme rt-\- r2-+- rs étant égale à /•, on ne pourra j>as en général déterminer le nombre /• de façon

à avoir

De plus, si celte détermination est possible, on obtient bien un invariant qui est nul lorsque les formes données sont liées par une relation linéaire; mais la réciproque n'est pas toujours vraie. Considérons, par exemple, le cas de p = 2, q = 3; on peut alors prendre /• = 1 ; mais, si l'on a la relation

'■1/1 -H X2/2 + À.-j/, +( \kXx H- l6:r, -+- l6X3)g = O,

g étant une forme linéaire quelconque, on ne peut en déduire

que f{ , f-2, fi sont liées par une relation linéaire : cette identité

est en effet vérifiée si fK , f2, fa ont un facteur linéaire commun.

Si q est de la forme — -, et si les formes y, sont liées

par une relation linéaire, le déterminant de leurs dérivées partielles semblables d'ordre h est un invariant nul; mais, comme précédemment, la réciproque n'est pas toujours vraie. Toutefois, les invariants obtenus de l'une ou l'autre de ces façons sont intéressants dans bien des cas. Considérons par exemple les dérivées

partielles d'ordre h, li étant au plus égal à -, de la forme/*; elles sont en nombre - - et de degré p — n, de sorte qu elles

I (/> — /* -Kl)(// k-\r-l) pr ■ T- 1

contiennent chacune J— —L— — coetucients. rm leur

appliquant ce qui a été dit en dernier lieu, on obtient un invariant analogue au déterminant A' du n°51. Si h = ■> on a déplus

et, en appliquant ce qui a été dit d'abord, on obtient un invariant proprement dit dont l'évanouissement exprime la dépendance

linéaire des dérivées partielles d'ordre — d'une forme de degré

pair/>. Si enfin l'on applique ce résultat particulier à la polaire