CHAPITRE II. — LES SYSTÈMES LINÉAIRES

{xyz){\ | 0- {yzt)&\ x) + (zxt)(t \y)+(xyt){l \ z),

(£[*) (l\y) (El*)

(xyz)(£riQ= | (tj | ar) (ij |jr) (t]|«s) | (Ç|ar) (Ç|v) (Ç|*)

155. Pour faire voir que les invariants des types (xyz), (çr^), (£ | .a?), forment un système complet, nous allons montrer que plus généralement, tout semi-invariant du système S, des poids respectifs P,, P2, l'a, est une fonction entière des déterminants tels que {ocyz) ou (£?)Ç), des déterminants tels que (xy)t ou(|r,)3, des variables telles que x-i ou £,, et des fonctions telles que (£|.r), chaque terme contenant P2 — P3 facteurs tels que x3 ou (£v))3, Pt — P2 facteurs tels que {xy)\ ou £,. Ce théorème, dont la réciproque est évidente, contient le proposé, puisque pour un invariant on a P, = P2 = P3 .

Comme au n° 55, il suffît de démontrer la proposition énoncée pour un semi-invariant linéaire par rapport aux diverses séries de variables; elle est manifestement vraie pour le système formé par les [x) seuls, car alors le seul semi-invariant linéaire est x-A. Supposons donc le théorème vrai pour les variables (y)., (.s), (?), . . . , (ç), (r(), (Ç), ... et démontrons qu'il l'est encore si l'on adjoint à ces variables les (x). Le semi-invariant considéré est de la forme À, xK -f- A2.r2 + A.3#3 ; si A, = A2 = o, A3 est un semiinvariant du système primitif, et le théorème est démontré.

Si A, = o, sans que A2 soit nul, l'hypothèse faite montre que A2 est un semi-invariant du système primitif, des poids P,, P2-t- i , P3; on peut écrire

A2 = Xa(yzt) . . . (ÇijÇ) . . . (6 | u) . . . vz . . . (xX), . . . | «>s)l . . . [a, . . .,

les facteurs affectés de l'indice 3 étant en nombre P2 — P3 -f- i . S'il existe un facteur tel que r3, on écrira

A2.r2-^ k3x3 = Z.x(yzt) . . . (£tjÇ) . . . (0 | u) . . . (xv){ . . . (xX)3 . . . (ws)t . . . [^-t- B3a73,

et l'on sera ramené au cas précédent en remarquant que le premier terme du second membre est un semi-invariant pour lequel le théorème est vérifié. De même, s'il existe un facteur tel que (xX)3, on pourra écrire

\,:r,^A^x3 = ^(yz/)..Air^..J(\\H)...V:i...\-Kl(l\x)~ll(y.\x)]...(WS)l...ixl-hB3.r3, et les conclusions sont les mêmes.

l(>4 LIVRE II. — LA. GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Si enfin A, n'est pas nul, un raisonnement tout semblable ramène aux cas précédents.

On raisonnera de même si l'on suppose le théorème vrai pour les variables (x), (y), (z), . . . , (i\), (Ci. • • • et que l'on adjoigne à ce système les variables (£).

Comme conséquence particulière du théorème que nous venons de démontrer, remarquons que si une forme f est décomposablc en facteurs linéaires, de sorte que f = II(a" | ,r), tout invariant de y et des variables (x), • ... (ç), ... s'exprimera en fonction entière des invariants tels que (xyz), (£|#), {%'rX)i (a(/ | ./ . (a(l')^r1), (aua-/ç), (a(/) a^a'*1 ), symétriquement par rapport aux (au)); et réciproquement.

456. La signification géométrique des conditions obtenues en égalant à zéro les invariants des types {xyz • (£rçÇ), (£|.r), est évidente.

Le système linéaire S admel aussi des invariants absolus géo-

, . , (f I a?)(i) 1 y) (xyt)(xzu) . . ...

métriques tels que ' ? ou 7— — Leur sijrnih-

ealion résultera de ce qui suit.