CHAPITRE II. — LES SYSTEMES LINEAIRES. l

(dignes, c'est-à-dire appartenant à un même élément de seconde espèce (£); soit (x) un cinquième élément de première espèce n'appartenant pas à (£), et considérons les quatre éléments de seconde espèce (xy), (xz), (jet), (xu). Leur rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique correspondant des éléments (y), (z), (t), (u) : en effet, si (y) étant quelconque sur (£), on lui fait correspondre (xy), on met ainsi les deux espaces (x) et (£) en correspondance homographique : c'est pour ainsi dire ('•vident, et d'ailleurs on peut remarquer que si les coordonnées de (y) sont Çktv + ^2w), (r) ct (w) étant deux éléments fixes de (£), celles de (xy) sont précisément [~k{ (xv) -f- )v2(;rw)].

Cette correspondance homographique particulière entre les espaces (x) et (£) déterminés par deux éléments d'espèce opposée, qui est telle que chaque élément de l'un contient son correspondant dans l'autre, est dite homologie. De ce qui précède on

eonclut sans peine que l'invariant absolu . . — - des cinq

1 * (xyu)(xzt) l

séries de variables (x), (y), (^), (^), (w), quelconques, est égal au

rapport anharmonique des quatre éléments (xy), (#«)> (xt),

( xu): de même l'invariant absolu )-?-. — . ' , { est égal au rapport

anharmonique (xy\'t\) des deux éléments (x), (y) associés aux éléments de même espèce déterminés par (xy) et (£), (yj) successivement.

Le rapport de deux coordonnées — est égal au rapport anharmonique (xOûoù3), en désignant par O l'élément de coordonnées (i , i , i).

158. Considérons deux faisceaux différents de même espèce, par exemple Çkty + ^2.s) et (m-i t + [x2 u); ils seront homographiques s'il existe entre les ()>) et les (p.) une relation bilinéaire. Pour simplifier on peut supposer les (p.) égaux aux Çk), l'homographie n'étant pas singulière. Alors, si (£) est un élément quiconlient deux éléments correspondants des deux faisceaux, on a

Xi(Ê|.T)4-X,(Ê|*) = o, Xi(S|0-+-^i(Ç|a) = o; éliminant les (),), on voit que le lieu géométrique de ces

lG6 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

éléments (£) est la série quadratique de seconde espèce

(Êlr)(S|a)-(SI*)(Èl<) "•

En particularisant les coordonnées, on voit sans peine que cette série se décompose dans l'unique cas où l'élément commun à (y:-) et à (tu) se correspond à Lui-même dans les deux faisceaux: alors tous les éléments (£) contiennent un élément (x) fixe; on dit que les deux faisceaux sont homologiques ; ils sont eux-mêmes homologiques à l'espace | x , considéré comme rempli par les éléments correspondants (ç).

Nous avons énoncé et démontré dans ce paragraphe, d'une façon générale, des théorèmes bien connus de Géométrie ordinaire.

On pourrait aisément retrouver de la même façon les propriétés projecti\cs des transversales dans le ii iangle, du quadrilatère coin plet, des polaires relatives aux angles, des polygones donl les côtés passent par des points donnés, tandis que les sommets se déplacent sur des droites données; etc., etc. Il suffit de donner ces indications; traiter ces questions en détail nous écarterait trop du 1 mi i poursun i .