I. Les éléments communs à deux séries

159. Soient deux formes, à une seule série de variables el de même espèce, /= axp, g = bxr, définissant deux séries de première espèce, des degrés/? et p'. Ces deux séries ont des éléments communs, que l'on peut déterminer de la façon suivante. Considérons un élément (£) quelconque, et cherchons la condition pour qu'il contienne un élément commun à feï à g; de (£ | x) = o on tire

portant dans /'et g, puis éliminant x2 et x3 entre les deux formes binaires par rapport à ces variables ainsi obtenues, on obtient un résultant de degré ipp' par rapport aux (£), qui, égalé à zéro, exprime la condition cherchée; toutefois cela n'est vrai que si l'on a £, ±o; si £, -— o, les équations entre lesquelles on a éliminé x2 et x3 contiennent l'une p fois, l'autre p' fois le facteur commun \2x-> -+- £3^3, et d'après un raisonnement connu, le résultant trouvé plus haut contient le facteur ^p'; si on l'en débarrasse, il reste une forme y, de deuxième espèce, des degrés pp\ p' et p par rapport aux (£), aux (a) et aux (/>), dont l'évanouissement est la condition cherchée sans facteur étranger. Il est «'•vident que cette forme y, que nous dirons équivalente à l'ensemble (/, g), est décomposable en pp' facteurs linéaires, d'après la façon dont on l'a obtenue.

Les séries y et g ont donc pp' éléments communs dont y = o est l'équation : ces éléments peuvent être confondus en tout ou en partie; si un même facteur (£1^) figure q fois dans y, on dit que

l6S LIVRE 11. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

(y) esl commun q fois à f et à g. Si y est une forme nulle identiquement, les séries /'et g ont une infinité d'éléments commun- : elles sont donc identiques, ou bien l'une des formes/", g au moins est décomposable, et admet l'autre ou un facteur de l'autre en facteur.

La forme y esl un invariant, manifestement.

Si l'on a

'/- II,; a

on voit qu'une fonction symétrique des éléments communs (a ' i .1 / 'ci g, entière el homogène de même degré r» par rapport au\ divers s\stèmes >/ ' . s'exprimera comme une fonction entière des coefficients a) el (b)defe\ de g, des degrés respectifs mp

et ////>.

1()0. Supposons la forme f donnée, el regardons les coefficients g de (b) comme variables; à chaque système de valeurs des (b) correspond un ensemble de pp' éléments x communs kf et à g : non- allons rechercher si ces />// élément- peuvent et repris arbitrairement, appartenant à /'.

Supposons d'abord /' />: pour définir les éléments communs à y et à g, non- pouvons remplacer g par g ///'. h étanl une forme quelconque de de^ré // -/> par rapport aux (a; : par suite, le système des pp' éléments coin m un- à /'ei à g dépend au plus de

paramètres; ce nom lue est égal kpp1 ±J— ' , de sente que

le système d éléments considéré ne dépend que de ce nombre de

paramètres au plus, el que au moins de ces élé-

ment- sont déterminés par les autres. Il est facile de voir qu'il n\ en a pas davantage; en effet, les séries g qui contiennent

PP ~r^ éléments appartenant a / dépendent lineai-

i ( /' il/' t , (P 0(/>— 2) . .

rementdev-i- ' — p/> ' ' -paramètres homo-

gènes, et, ce nombre étant supérieur a -— ' >uen