CHAPITRE III. — ÉLÉMENTS COMMUNS A DEUX OU PLUSIEURS SÉRIES

résulte que les formes g considérées ne sont pas toutes composées comme/A; en d'autres termes, elles ne contiennent pas toutes/' en facteur.

Si l'on a p' <Z p-, on voit tout de suite que, parmi les pp' éléments

communs a / et a g, il y en a — — — - qui sont détermines

parles autres ; ce nombre coïncide avec le précédent pour/»' = p — i et p' = p — 2.

i 01 . Soit une série h — - cr.r de degré p" , assujettie à contenir les pp' éléments communs kf et ai g', et montrons d'abord que ces conditions sont distinctes dès que l'on a.p'7 p + p' — 2. Pour cela, il suffit de faire voir que Ton peut trouver une série h de degré p" ', contenant tous les éléments communs kfelkg, sauf un; si celui-ci correspond à x2 = .r3 = o, on peut écrire

./ = ^2/2 -1- a?s f3, g = xt gt^-x^g-i.

fi et./3) gï et ,•?':( étant des formes des degrés p — ■ i, />' — 1 ; alors il est clair que la forme fzg 3 — fzgîi de degré /? H- // — 2, contient tous les éléments communs kf et à £% sauf celui mis à part.

Si alors la forme h de degré p" > p -+- p' — ■ 2 contient tous les éléments communs à y et g-, formons la combinaison hi = h — ffK — gg\if\ et g\ étant des formes de degrés/?" — p' , p" — p\ A, contient comme h tous les éléments communs à y et à g; en disposant convenablement des coefficients arbitraires de y, et g{, on peut réduire le nombre des paramètres homogènes dont dépend linéairement ht. En faisant attention aux relations qui résultent des identités telles que fg = gf, comme au n° 116, ce nombre se réduit à

(jp"-t-i)(//'-f-a) ( //' — /> -i- 1 ) ( p" — p -+- 2 ) i //' — // -- 1 ) ( p" — p' -+- 1 )

le dernier terme étant applicable encore lorsque // est égal à p -+-//- - 1 ou à /? -+-/>' — • 2, puisque alors il s'annule.

Le nombre précédent est précisément pp'; donc A, étant assujettie à/>// conditions distinctes, il faut que cette forme soit nulle

identiquement. Par suite, la forme h est nécessairement une combinaison telle que//, ::,.

Ce théorème s'étend au cas où l'on a p" /> p — 2. Supposons, eu effet, que h de degré quelconque/?" eontienne tous les éléments communs à f et ;'i g\ il en sera de même de //./•, par exemple; si donc le théorème est vrai pour le degré p" 1, hx{ sera de la forme ff, -f- ggt ; ffK - gg\ contenant le facteur ./-,. si l'on désigne par -y ^,. •!>. t|f(, ce que deviennent les fonctions/". /, . g, gl} quand on y fait Xt—o, il faut avoir Identiquement tpcp, yl, i>: comme />" est inférieur à // p' — 2, ceci entraîne :;, :<p, = o, et le théorème est démontré évidemment, en supposanl toutefois que les formes -^ el 'l en x2 et ./■ , n'ont pas de racines communes.

Bien entendu, ce théorème n'es! vrai que d'une façon générale, ^i l'on conserve aui coefficients de /'et g t < > 1 1 1 leur degré d'arbitraire.

Si l'on prend p /> ]< -2 r, la forme /',/ g\g < /> élanl an moins égal au plus petil des nombres p et p con-

in-nt linéairement para-

mètre-, homogènes; par suite la condition de contenir i<»ns le^ éléments communs à y el à g équivaul pour une série // <lc degré p

a/y> — - conditions simples : end autres termes, dès qu une

telle série contient pp' — — des éléments communs à ^el à g,

elle contient les autres, en général. I ne iiuire conséquence

du théorème déi tré* esl celle-ci : si deux séries / et // des

degrés p el p" /> p | sont telles que pp'\ p p" de leurs éléments communs appartiennent à la série g, <le degré/?', on peut écrire h ff\ ggt, et par suite les p(p"- p antres éléments communs à /et h. appartiennent à une série gt de deuil'// — //. Enfin, nous remarquerons que toutes les séries de degré' // qui

ont ' r' '' - — a éléments communs, ont p- éléments com-

muns, et par suite forment un faisceau; en effet, si l'une d'elles esl fixe, les nouveaux éléments communs à celle-ci et à une autre quelconque sont, complètement déterminés par ceux qui soni donnés.