OUAIMTIIE III. — ELEMENTS COMMUNS A DEUX OU PLUSIEURS SERIES

II. — Le résultant de trois formes. — Le discriminant d'une forme.

162. Soient les trois formes/, g, h, des degrés/?, /?', p". Si les (V/.u)) sont les éléments communs à f et à g, formons le produit Il/i(rtU)); cette fonction symétrique des (a(,')) s'exprimera en fonction entière des coefficients (a) et (b) de y et g, sera respectivement des degrés /?'/?", p" p, pp' par rapport aux coefficients (a ). (6), (c) des formes/", g, h.

La condition nécessaire et suffisante pour que les formes/, g. h aient un élément commun est R- o, en appelant R ce produit. R est le résultant des formes/, g, h] c'est un invariant d'ordre /?/?'/?"; c'est un combinant de ces formes, quand elles sont de même degré.

Si h est le produit de deux formes h{ et h-2, le résultant de /. g, hesl le produit du résultant de /*, g, h,, et de celui de/*, g, h ,.

On obtiendrait tout aussi bien R en écrivant que /contient un élément commun à g et /&, ou que g contient un élément commun à / e t h .