Considérons l'identité

ff\-+-gg\-+- hhy= o,

où/", , gt , hK sont des formes des degrés p' - - p" — 2, p" -+- /? - 2,

P -hp' — 2.

Si/", £, /i n'ont pas d'éléments communs, et si cette identité est vérifiée, il faut que hK contienne tous les éléments communs à / et g; donc h{ est de la forme //'2 - gg-i-, f-i et £'2 étant des degrés/?' — 2 et/? — -2. Comme au n" 118, on en déduit que l'identité proposée résulte simplement des identités telles que

y^" = o/déJà signalées.

D'autre part, si /", g, h ont au moins un élément commun, on voit de même que l'on peut vérifier l'identité proposée par des valeurs autres que les précédentes.

La condition nécessaire et suffisante pour que/, g, h aient un élément commun, est donc que l'on puisse vérifier l'identité

//i-t- ggi-k- /lf'i =°

par des valeurs autres que celles qui se présentent naturellement. En d'autres termes les formes o

xf'X'/-x'/ • /'. xi'* ./•'/'■ xi'' e, xi"* xi" xi* h,

où qt -+- q%-\- q% = p'+p"- -2, ..., et qui sont déjà liées par 2, -relations linéaires connues, doivent être liées encore

par une nouvelle relation linéaire.

Les tonnes sont en nombre > — — —L— -, et con-

tiennent chacune - -^- — — termes : la dillc-

reuce entre le nombre précédent et celui-ci est précisément V p(p-j)

( )n prendra donc — s— ~±—'—!— —!—- des lormes », et

l'on écrira le déterminant I», de leurs coefficients, déterminant que l'on peut supposer non nul, par un choix convenable des formes considérées. Ecrivant alors les relations connues entre les formes m, el appelant \\> le déterminant des formes non choisies tout à l'heure dan- ce> relations, on voit comme au n" 118

que I! est précisément le quotient •=- des déterminants 11, et K,, <|in sont respectivement des ordres — —

et > -, nombres dont la différence est -/>/>".

Observons que si /, est une forme donnée quelconque du degré/? ^p'^rp" — 2? ,m peut toujours vérifier l'identité

f/i ggx ■ hhx - /,/, , ...

/. , étant une constante, et cela en dehors des relations connues entre les formes çp; alors, on peut évidemment prendre pour /câ le résultant R.

IGi. \ oici d'autres movens de calculer le résultant des trois

formes /'. g, h, analogues à ceux du n° 65 dans le cas de deux formes binaires.

Supposons les trois formes /'. gt h du même degré />, et