CHAPITRE III. — ELEMENTS COMMUNS A DEUX OU PLUSIEURS SÉRIES

écrivons-les ainsi

g = g-ixP' H- giXP^-h g30cP3\

k= hyXR

Pm P%i Ps étant trois entiers positifs dont la somme est^+a; cette décomposition est toujours possible, et même de plusieurs façons, dont on choisira l'une arbitrairement.

np(p-T-l) , -11 1 ,

y a - — — - systèmes possibles pour les nombres p{, p2, />:! :

considérons alors les ^ " déterminants tel que

g\ gï g 3

Ai h-2 /i3 i • ■ • P( P -Ji~i) C 11 • i

on obtient ainsi - — — - tonnes de degré %p — i qui s annulent

en même temps que/", g7 h si ces formes ont un élément commun, et si l'on prend (x) pour cet élément.

Adjoignons à ces formes les - formes des types

x^xf-xl/f, xf x^ x\3 g , x'I'x^-x'teh,

où q\ -\- CJ2-+- q-i — p — a, qui sont dans le même cas. Nous avons ainsi en tout p('ip — i) formes de degré ip — 2, et le déterminant de leurs coefficients, d'ordre p(zp — i) et de degré total op'2 par rapport aux coefficients de/", g, /?, est évidemment le résultant R de ces formes.

Autrement, soit J le jacobien des formes f, g, h; les degrés de ces formes étant toujours égaux à />, les dérivées partielles de .1 s'annulent en même temps que f, g, h. Alors on considérera les formes de degré op — 45 en nombre ?>(p.p-- — 5/? + 4)5 et renfermant chacune - (p — 1)(3p — 2) coefficients

Wt' S' ^V *?**'*?'/' *?'*M* *M'*Î'A,

où qi-*r q^-^ qz= ip — 4; ces formes sont d'ailleurs liées par

^P~ ^'^P ' relations linéaires connues. Les égalités

;,,.. 2)(/>-3) 3(/> — i)(3jp- i

inonlrent alors qu'on obtienl le résultanl I! sous la forme du quotient de deux déterminants, comme au numéro précédent.

Lorsque les degrés de/, g, h ne sonl pas égaux, on ramènera ce cas au précédenl comme au □ 65; on introduira ainsi des facteurs étrangers, toujours faciles à déterminer.

( )n peul encore, dans le cas général, envisager le jacobien J et

les formes x\%x\ > f «m y, '/—'/: /'' /'

ei l'on \"ii sans peine que l'on obtienl encore le résultanl comme quotienl de deux déterminants.

165. Lorsque trois formes/, r. h onl leur résultant nul. «m peul

déterminer le i bre el les coordonnées des éléments com

i s par des considérations toutes pareilles à celles «lu n° 119.

( 1 me dans le cas des formes à deux séries <l«' variables

binaires, dont la théorie a de i breux points communs ave<

celle <|ui nous occupe I el i eci n'a pas lieu de surprendre, puisque le nombre de \;iriables indépendantes non homogènes esl le même dans les deux cas . nous laisserons de côté la détermination direi te du nombre des éléments communs à/, r . h.

I(')(î. Le discriminant S d'une forme/ axp esl le résultanl

, ..... . ,, i of i <>f i df

«le ses trois dérivées partielles • •

( l'esl un invarianl d'ordre p(p -- i)-, et de degré 3 /> i)s par rapport aux coefficients {a | de /. Nous verrons plus bas quelle esl la signification de la condition S = o.

Le discriminanl du produit de deux formes est nul identiquement, car les dérivées partielles de ce produit s'annulenl pour tout élément commun aux deux formes-.

Nous ne ferons que signaler l'extension possible des théories contenues dans ce < lhapitre au cas où l'on envisagerait des formes à deux ou plusieurs séries de variables binaires ou ternaires.