I. — Les formes équivalentes

Les polaires. Les éléments tangents. — Les éléments multiples.

167. Soit une série de première espèce et de degré/?, d'équations/= axp = o. Si nous cherchons ses éléments communs avec un élément (£) quelconque, nous savons qu'ils sont en nombre p, et il est facile de former leur équation. En particulier, on peut former l'équation /[■ (52#2-r- £3^3)5 Ei#25 çf .r3] — o, qui définit

les coordonnées — de ces éléments, si £( n'est pas nul.

Écrivons que, parmi les/? éléments communs à /et à (£), deux au moins sont confondus; à cet effet, nous formerons le discriminant de l'équation précédente, de degré >-p{p — 1) par rapport aux (£), et nous en supprimerons le facteur étranger évident \p{p~{). Nous obtiendrons ainsi une forme cp de seconde espèce, de degré /?(/? — 1), qui, égalée à zéro, exprime la condition nécessaire et suffisante pour que (£) ait deux éléments communs confondus avec /. cp est clairement un invariant d'ordre /?(/? — 1), de degré 2/?(/? — 1) par rapport aux coefficients (a) de/.

Nous dirons de cette forme o qu'elle est équivalente à /. Si / n'est pas irréductible et admet un facteur multiple, la forme cp est nulle identiquement. Si /est décomposable en un produit de facteurs linéaires distincts, n(a(,)J^), il est clair que cp est de la l'orme n(a<«atf>Ç)2.

168. Définissons maintenant l'élément (ç) par deux éléments de première espèce (y) et (0), de sorte que l'on ait {•;= (^3);, et qu'un élément quelconque de (£) soit (\{y -+-\2z). Pour définir

Ijt) LIVRi: II. — LA GÉOMÉTRlf TERNAIRE.

les éléments communs à/ et à < '; >. on aura l'équation

ayV>\ poy ;/.', ' /., ar? S»A7 -X|- ... = o;

le discriminant de celle forme binaire par rapport aux | a i s'exprimera à l'aide des (;) et sera la forme co équivalente kf.

Celle équation nous donne aussi tout de suite la signification géométrique des polaires de/égalées à zéro. Si l'on appelle (/.' i les racines de celte équation, el si (y) et (z sont tels que a, izh o, on a

si alors ( / ' » est l'élément qui, dans l'espace (£), a pour coordonnée* < a ' i, le rapport anharmonique (yzt^}t(J i esl éeral à — — — :

par suite, la relation précédente peul s'écrire

la sommation étant étendue à toutes les combinaisons /' i,

(*('»,)> '''■'■ i des éléments (*), A à A, et (/» i,(/« ('/ /( i

restant fixes. < )n peul aussi é< i ire dans le- mêmes conditions

L'une ou I .mire de ces équations définit les/? A éléments (y) qui, sur (;), appartiennent à la/;""" polaire de (s ; d'après le n° 62, ils forment le système polaire d'ordre A de (z) par rapport aux éléments communs à / et à (; >, dan- l'espace : ■ En particulier, pour A i . on a

Z(yzt ' /' o;

pour A /> i . on a

1 yzt ' l ' i : o.

169. Supposons que (jk) soit un élément déterminé de /, de sorte que ayr o; l'élément quelconque (£) ou (yz), contenant ( r), a (y) commun avec / une seule fois seulement en général, car on n'a pas ,/>/-■-= o. Si cette condition est vérifiée, sans l'être quel que soit (z), alors (z) appartient à la (p - i )"""' polaire de (y), qui est une série linéaire, ou un élément de seconde espèce (•/)); on voit que cet élément ( /, i, et lui seul parmi