CHAPITRE IV. - LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES

les éléments (£) qui contiennent (y), admet (y) commun avec/ plus d'une fois, et en général deux l'ois : il est dit langent à/ en (y)-, et (y) est son élément de contact.

Cette notion s'étend aux séries linéaires; en chaque élément (#) d'une telle série (£), l'élément tangent est (ç) lui-même.

170. Généralement, supposons que ayp-lz^ • • -, axp-/i+izh-, sont des formes nulles identiquement quel que soit (,z), sans qu'il en soit de même de ayp-hzh^ ce qui exige que les dérivées partielles de l'ordre h — i de / soient toutes nulles pour l'élément ( k), sans qu'il en soit de même pour les dérivées partielles d'ordre h ; on dit alors que (y) est un élément multiple d'ordre h de f : tout élément (£) contenant (y) admet (y) Ji fois au moins commun avec f.

Les éléments particuliers (z), tels que l'on ait arp-hzh— o, déterminent des éléments (yj) qui ont plus de h éléments confondus en (y) communs avec/, en général li -f- i . Ces éléments (y)) sont en nombre /*, distincts ou confondus, car ici arp-i>zh se décompose en h facteurs linéaires par rapport à (3), puisque si (z) vérifié l'équation arp-hzh=o, il en est de même, d'après ce qui précède, de tout élément appartenant à {yz). Ces éléments (y)) sont encore dits tangents à/ en (7).

En général, une série /n'a pas d'éléments multiples; si, en effet, (y) est un tel élément, les dérivées partielles du premier ordre de /doivent s'annuler pour (y)-, et réciproquement, si ceci a lieu, (y) est un élément multiple, en général double, pour /. De là résulte la condition nécessaire et suffisante pour que /ail au moins un élément multiple : c'est que son discriminant soit nul.

Les polaires axp-*y*=o d'un élément (y) appartenant à /, qui ne disparaissent pas identiquement, admettent cet élément avec le même ordre de multiplicité, et y ont les mêmes éléments tangents. La polaire axp-l!z!i= O d? un élément quelconque (z) admet comme élément multiple d'ordre h — k tout élément multiple (y) d'ordre A de/. Ces propositions se démontrent sans peine, par exemple en supposant que l'élément multiple (y) est O, et remarquant que/ prend alors la forme

/= xi[-''fh{x,, Xi)-^x{-h l/A+I(a72, a?3) + - • ■■-r-//»(a?*, #3), An. - I. 12

les/, étant des formes en x2 et .r3 de degré marqué par l'indice. lci//i = o est l'équation des éléments tangents à /en O,.

171. Si deux séries /—<:/.,,>, gz=bxP- <>ut un élément (j^) commun, multiple des ordres h et h1 respectivement pour ces deux séries, il compte au moins hli' fois parmi les pp' éléments communs à ces deux séries; il ne compte pas davantage si ces deux séries n'ont pas d'élément tangent commun en (y) ; il compte au moins hh'— y fois, si les éléments tangents en (y) à /et à g coïncident en nombre q.

Pour démontrer ce théorème, supposons que (y) coïncide avec 0|, et écrivons comme toul à l'heure

g ■'■<[ h'gh' •'',' lgh'+l-*-----ï-gp °"

Si dans ces équations nous remplaçons x{ par > el si, entre les

nouvelles équations obtenues, uous éliminons X\ el .>■',, nous obtenons un résultanl lî qui u'esl | »;i - nul identiquemenl si/el g n'oni pas une infinité d'éléments communs, el qui est, d'après les propriétés de poids des résultants, du degré

ou /y/ - ////' par rapporl à ./. el ./:). \u\ racines «le II . o correspondenl pp' - - hh! élémenl s communs ;ï / el g, autres que O, en général, ce qui démontre la première partie du théorème. Si fh el gh> n'ont pas de racine commune, aucun de ces éléments ne peut coïncider avec O,, car pour chacun d'eux on a x\ <>. Mais si fa et gh' ont q racines communes, distinctes ou confondues, l'équation R = o, qui peut s'écrire sous la forme fh F + g/tG = o, évidente d'après la formation du résultant, admet ces q racines, el à chacune d'elles correspond de nouveau O, comme élémenl commun à /et à g. Le théorème est ainsi complètement démontré. On voit en même temps comment on pourra déterminer, sans recourir au procédé général du n" 159, combien de fois O, est commun à / <i à g dans tous les cas possibles.

175. Si les deux séries / et g ont en commun r/ -+- i fois un élément (y) simple pour chacune d'elles, on dit qu'elles ont