CHAPITRE IV. — LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES

on (y) un contact d'ordre q; en général, q est égal à i, et le

contact est simple : les deux séries sont simplement tangentes.

Cherchons la condition pour que/ et g soient tangentes. Si (x)

est l'élément de contact, on a

df df df

dx\ dxt dx3

dg dg dg

dxi dx% dx3

l'une de ces équations étant d'ailleurs une conséquence des autres. Éliminons les (x) entre les équations

df^ dg^ d f dg

^ ' ti dx2 dx3 àx3 dx2

on obtient un résultant T' des degrés p'(ip-\-p' — 2) et pi'i-p' + p — 2) Par rapport aux coefficients (a) et (b) de f et g; mais si ,r, est nul, et seulement dans ce cas, on ne peut rien déduire des équations employées relativement au rap-

K port - ' ' ; d'ailleurs, si l'on a/=o, «- = o, avec x{ = o, la troi-

dxi sième équation employée est vérifiée d'elle-même, puisque

df df dg dg

dx* 0x3 d.r-2 dx3

Le résultant T' contient donc comme facteur étranger le résultant de /(o, x», x3) et £"(0, x2, x3), des degrés p' et p par rapport aux (a) et aux (6); en l'enlevant, on obtient la condition cherchée T = o, où T est un invariant des degrés p1 (2/9 H-/?' — 3) et p{zp'-{-p — 3) par rapport aux («) et aux (&). d'ordre

Pp'(p-\-p'—2).

On voit d'ailleurs que T s'annule aussi dès que y' par exemple possède un élément multiple appartenant à g : nous pouvons donc dire que T =. o est la condition nécessaire et suffisante pour que deux des éléments communs kf et à g soient confondus.

173. Si trois séries y, g, h des degrés p, p' , p" ont en commun un élément (x)7 multiple des ordres h, h', lé' respectivement, on voit sans peine que la série jacobienne, obtenue en égalant à zéro le jacobien J(/, g, A), admet cet élément comme multiple de

l8o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

l'ordre h -+- /t'-f- h" — 2 au moins; si 4- = *rr, = ^rr,* l'élément est

A li h

multiple h -\-k'-\- h" — 1 fois au moins; si Ton .1 seulement ~ — ' -,

il n'est multiple que A -h h'-+- h" — 2 fois en général, mais il admet les éléments tangents ;'i /comme éléments tangents; etc.

Lorsque p — p' — p"i on voit encore que la jacobienne est le lieu des éléments doubles des séries / .,,/ '-■ \zg - '/•.>,/' o.