II. — Les séries tangentielles

171. Cherchons les éléments <:) tangents h/qui contiennenl un élémenl donné 1 y); si (.r) e^i l'élémenl de contact, on a pour déterminer (.r) les deux équations axp- o, ax\ v o, <|ui donnent p(p — 1) solutions. L'équation de ces éléments (ç) est obtenue en égalant à zéro le discriminanl <!<•

<iy'i 1- /■■! , Xf,X, . . - a3 / >', - o:

elle esl de la forme

ax?g " ,1 ij li 0,

g et h étanl des formes des degrés p{p 2 1 <•! (p - 1 i| /> — 2), comme l'on sail ; on voit que les éléments communs à/el aux 1 ; 1, autres que les éléments de contact, appartiennenl à ta série A : o, de degré (p — l)(p — 2); d'ailleurs // est le discriminanl de

po-xf *y^p\~x -+-...-»- ayv\\ '= o,

de sorte que // est «le l,i forme

"<■ 'yéTi a\f iy'-gi - O;

donc les séries h- -o el r/.#./'-'y~o sont tangentes aux éléments communs aux deux premières polaires de (y).

Mais les solutions trouvées comme éléments de contact (.r) ne sont acceptables, ( y) restant arbitraire, qu'autant que (oc) n'est pas un élément multiple, cl précisément la série <>., >r=o, qui est la première polaire de (y), contient tous les éléments multiples de f : il faudra donc ôter les solutions correspondantes pour avoir le nombre véritable de solutions proprement dites, nombre qu'on appelle la classe r. de la série y*.

Si (y) est un élément ordinaire de /. les deux séries axp=o,