CHAPITRE IV. LES PROPRIETES GEXERAI.ES DES SERIES

axv ir= o contiennent (y), et y sont tangentes, d'après ce qui a été dit pins haut; donc ( r) compte au moins deux fois comme élément de contact.

175. La forme cp équivalente à / est de degré p(p ■ — i). Il est évident que, égalée à zéro, elle représente la série des éléments (£) tangents à/, et en outre les éléments multiples de /', chacun d'eux autant de fois qu'il compte comme commun aux séries axp= o, axv-ly= o, {y) restant arbitraire. Si l'on ote les facteurs qui correspondent dans co à ces éléments multiples, le degré du facteur restant cp0 est la classe - de /; <p0=o représente la série des éléments (q) tangents à/.

Cette série cp0 peut être traitée comme/; si (£) est un de ses éléments, tangent à y en (y), comme, d'après ce qui a été dit plus haut, (y) et cp0 ont (£) commun au moins deux fois, (y) est tangent à -i0, et (£) est son élément de contact. La forme /0 équivalente à ©0 contient donc y', et en outre les éléments multiples de cp0, ou éléments tangents multiples de/, chacun d'eux autant de fois qu'il compte comme commun à cp0 et à la première polaire de l'élément arbitraire (/)) par rapport à o0; le degré de /0 est 7c(— — i) ; la classe de o0 est p.

176. On voit que les formes / et oa jouent l'une par rapport à L'autre un rôle parfaitement réciproque; chacune des séries ainsi définies est la série des éléments tangents à l'autre. Aussi dironsnous que chacune d'elles est la forme tangentielle de l'autre.

La forme tangentielle cp0 d'une forme donnée /ne doit pas être confondue avec sa forme équivalente cp : celle-ci est un invariant de / lorsqu'on laisse aux coefficients de cette forme toute leur généralité, comme nous lavons toujours fait; la forme tangentielle n'existe, différente de o, que si les coefficients de /vérifient des relations particulières, et ne peut être regardée comme un invariant de la forme générale /'.

Si/ n'a aucun élément multiple, cp0 n'est autre chose que cp; on a alors k ~p(p — i), et par suite la série cp0 a nécessairement des éléments multiples, sauf pour p=2, car, hors ce cas, on a /> < -(- — i).

l82 LIVRE 11. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Ce qui précède cesse de s'appliquer dans deux cas :

i° Si/ contient des facteurs multiples: alors -s. est nulle idenli-

queraent;

20 Si / contient des facteurs linéaires: si, en effet, f contient

l'élément (ç), l'élément tangent en (y) sur ; est I : Lui-même;

mais <p = o ne le représente pas, et /„ ne le contient pas.

Les éléments inflexionnels. — Les éléments stationnaires.

177. Si i ri esl un élément simple de la série/=o, l'élément tangent (£), d'équation aXyi>-i = o, n'a en général (y) commun avec /"que deui fois : mais, en des éléments particuliers, i;t et/ peuvent avoir un contact d'ordre >/ supérieure l'unité; il en sera ainsi, d'après le n° 168, si les polaires successives

contiennent l'élément : . sans qu'il en soit <\v même de la suivante.

Lorsque q - 2, ce qui esl le cas le plus général, dous dirons que L'élément (y) esl inflexionnel sur /; l'élémenl tangent ici luimême sera dit élément tangent Uationnaire pour/; on dil aussi que c'esl un élémenl stationnaire , ou cuspidal, de La série tangent i elle s,,, l'.u général, une série y a un nombre limité d'éléments inflexionnels, el n'a j >;• - d'éléments tels que loi die du contact de/ avec l'élémenl tangent soil supérieure i.

Voici comment on peut déterminer les éléments inflexionnels : en (y), supposé tel, la polaire a =o -<• décompose, d'après

ce qui précède, en deux éléments de seconde espèce, et par suite, d'après la théorie des formes quadratiques, exposée plus loin, on a

ày\ */

Oyityi dyldy3

ày\

dytdj .

ày\

tyiûya àytdy3

de sorte que (y) appartient à la hessienne II de /, définie par le hessien de /égalé à zéro.