CHAPITRE IV. — LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES. l

Réciproquement, si (y) est un élément simple de /appartenant aussi à H, la polaire ax*yp—-=o se décompose en deux éléments de seconde espèce, et, d'après ce qui a été dit à la fin du n° 170. l'un de ces éléments est l'élément tangent (ç), qui, par suite, a un contact d'ordre supérieur à l'unité avec /*, et en général esl stationnaire.

Les éléments inflexionnels de y sont donc les éléments simples de/ communs à /'et à H, pour lesquels l'ordre du contact de f avec l'élément tangent ne dépasse pas 2; ils sont en général en nombre 3p(p — 2), puisque le hessien de/'est de degré 3(/> — 2).

Si ^> = 2, le hessien est une constante, qui ne s'annule que dans le cas où f se décompose en facteurs linéaires, comme nous le verrons plus loin.

Si f contient un facteur linéaire à la puissance k, H contient ce facteur à la puissance 3k — 2, au moins, ainsi qu'on le vérifie sans peine.

La série H contient évidemment tous les éléments multiples que peut posséder /• la présence de tels éléments diminue donc le nombre normal des éléments inflexionnels indiqué plus haut.

Si (x) est multiple d'ordre h pour y, il le sera en général d'ordre 3h — 4 pour H, et les éléments tangents à yen (x) le seront aussi à H.

Enfin, nous remarquerons qu'un élément (y) pour lequel l'élément tangent a avec f un contact d'ordre supérieur à deux peut être regardé comme la réunion de plusieurs éléments inflexionnels ordinaires, et aussi qu'on peut concevoir de tels éléments coïncidant avec des éléments multiples dey: mais nous n'entrerons pas dans les détails relatifs à ces cas exceptionnels.

478. Si (y) esl inflexionnel sury, la première polaire d'un élément quelconque (s), appartenant à l'élément (ç) tangent à f en (y), est elle-même tangente à yen (y), et par suite admet [y) commun avecydeux fois. En effet, les éléments communs à(£)et à la première polaire de (z) forment le premier système polaire de (s) dans l'espace (ç) par rapport aux éléments communs kf et à (ç); trois de ces éléments étant confondus en (y), il est clair, d'après les propriétés des polaires binaires, que la première polaire de (s) a avec (ç) deux éléments confondus en (y). Si, de

plus, (z) vienl en (y) et seulement dans ce cas, [y) devient, par le même raisonnement, trois fois commun à la première polaire de(*)età(Ç).

Il résulte immédiatement de ce <|ui précède que (ç) est un élément double pour la -«''rie tangentielle o0 de/, el que (y) est l'unique élémenl tangent correspondant. admettant ; commun avec / trois fois.

Ce résultai esl d'accord avec ce qui a été «lit plus haul sur la diminution du nombre des éléments inflexionnels causée par la présence des éléments multiples; si, en effet, /n'a pas d'éléments multiples, o0 doil en avoir assez pour n'avoir pas d'éléments in- Hexionnels qui seraienl multiples pour/, contrairemenl à I hypoi hèse.