IV. Les singularités ordinaires. — Les formules de Plucker

180. Soit f-=a.rr = o l'équation d'une série quelconque que nous supposons ne contenir ni séries multiples, ni séries linéaires.

Si nous appelons singularités ordinaires celles qui se rencontrent nécessairement dans une telle série / ou dans la série tangentielle cd0, ce qui a été dit nous conduit à considérer quatre espèces de singularités ordinaires pour/:

a. Un élément double avec éléments tangents distincts :

a. Un élément langent double avec éléments de contact distincts;

j3. Lin élément inllexionnel ;

b. Un élément cuspidal ou stationnaire ; c'est-à-dire encore un élément double, mais avec un élément tangent unique, qui admet l'élément double en commun avec la série trois fois seulement.

D'ailleurs, pour préciser encore davantage, nous supposerons, dans les cas (a) et (a), que de même chacun des éléments tangents en l'élément double admet celui-ci commun avec la série trois fois seulement.

Les singularités des espèces («), (a), (6), ((U) sont respectivement les singularités des espèces (a), (a), ([3), (b) pour la série tangentielle œ0.

Si nous supposons que / n'admet que des singularités ordinaires, et que les nombres de ces singularités soient respectivement cl, o, /•, p pour les quatre espèces (a), (a), (b), (|3), on peut iacilement trouver des relations entre ces nombres, le degré p de/, et le degré - de ç>0 qui est aussi la classe de/.

181. On sait que la classe de/, qui serait p(p — i) si /n'avait aucun élément double, n'est diminuée que par le fait de ces éléments doubles. Quelle est l'influence de ces éléments doubles? Considérons d'abord un élément double à éléments tangents dis-

tincts; en le choisissant pour 0, et prenant les éléments tangents pour Q2 et Ù:t, on peut écrire

fi étant une forme de degré i par rapport aux variables x2 et x3. La première polaire de l'élémenl h) quelconque peut alors s'écrire

les gi étant analogues aux /,. Elle a en O, un élémenl simple, l'élément tangent étant distinct des éléments il, et Û3 tangents en O, à/: on voit même qu'il est conjugué harmonique de 0Ay Par rapport à i», et Q3. Par suite, <>, est commun à / et à cette polaire deux lui. seulement, et chaque élément analogue à O, diminue la classe de deux unités.

Supposons maintenant que / admette en O, un élément cuspidal : I élémenl tangent étant pris p. un- Q3, .m ;i

H dans/,, I- coefficient de a ; u'est pas nul. puisque Û3 doit avoir O, commun avec/trois fois seulement. La première polaire «le i est ici

elle admet (.), comme élémenl simple, avec même élément langent que/; par suite O, est commun Mois lois au moins à /et à cette polaire : il ne l'est pas davantage, comme on le voit sur le cas particulier très simple

./" x\xx ax\\

donc tout élémenl analogue àO, diminue la classe de trois unités.

Evaluons de même la diminution produite dans le nombre des éléments inflexionnels de/par les éléments doubles.

Prenons les mêmes notations «pie ci-dessus; pour un élément double ordinaire, situé en O,, la hessienne s'écrit

H = (p-i){p — 2)x\P-*a;ix3+x\P »^,-+-... ff3p-6:

elle admet O, comme élément double avec les mômes éléments tangents que/; donc O, est commun six fois au moins à/et à II.