CHAPITRE IV. — LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES

Mais si l'on suppose que les éléments tangents à / en O, n'admettent pas O, commun plus de trois fois avec/, ce qui revient à dire que les coefficients de x\ et de x\ dans /3 ne sont pas nuls, / et H n'admettent pas O, commun plus de six fois, comme on le voit sur le cas particulier simple

f= Xix.yx.1 -'- ax\ -+- bx\, dans lequel

H = 2 Xi x2 x3 — 6ax'i — 6 bx\ .

Un élément double ordinaire diminue donc le nombre des éléments inflexionnels de six unités.

Enfin, pour un élément cuspidal en O,, on a, dans les mêmes conditions que précédemment,

H = - i{p — i)(p — -x)x\P-*xl '^- -hx\P-l0ffk-h.. .H-tfsp-e,

de. sorte que la hessienne admet O, comme élément triple, deux des éléments tangents étant confondus avec Q3 tangent à/, l'autre étant distinct; O, est donc commun au moins huit fois à /et à H; il ne l'est pas davantage, comme le montre le cas particulier déjà employé. Par suite un élément cuspidal diminue le nombre des éléments inflexionnels de huit unités.