De ce qui précède résultent les relations immédiates

71 = p(p — 1 ) — 2 d — 3 r, p — 3/>(/» — 2) — 6d — 8/', et de même

p = 71 ( 71 — i) — 2 8 — 3 p , r = 3tt(- — 2) — 60 — 8p;

l'une ou l'autre de ces dernières formules donne encore

a-8.=/>Q0 — »)(/>» — 9) — 4rf(/>*— i> — 5)— 3r(a^« — ajB — 9) ~K arf-*-3r)*;

on aurait de même 'id en fonction de tû, S et p. On peut écrire aussi cette dernière formule

8 = - p(p — 2)(jD2 — 9)— 2C?(tî — 4)

— 3r(7t— 3)— ad(rf — 0— 6rfr— ^r(r — i),

l88 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

et, sous cette forme, on pourrait l'obtenir directement : en effet, d'après ce qui sera dit au n" 198, si d = r = o, on trouve

si maintenanl d el /• ne sonl pas auls, il faut supprimer les solutions qui correspondent aux éléments tangents menés par les éléments multiples et aux éléments qui contiennent deux éléments multiples : on arrive alors sans peine à la formule ci-dessus.

Telles sont les formules de Pliicker, reliant les nombres /y, </. /•, -, o. p ; elles sonl indépendantes au nombre de trois seulement.

On remarquera les relations

donl la seconde exprime que les séries/el cp0 dépendenl d'autant de paramètres indépendants, el surtout celle-ci

le nombre g esl le genre des séries y el »0-

Il esl facile de voir que g n'esl pas négatif, c'est-à-dire que

/ i . • , 1/' IH/i 'J! . r • i . •

tl -f- /• n esl pas supérieur a — » si toutefois la série /

ne se décompose pas en séries de degré inférieur. Si, en effet,

/ avait-*— i-i éléments doubles, prenons une série //

contenant tous ces éléments et qui soit de degré /> ■>. ; celte série pourra encore être assujettie à contenir /> - .'> éléments arbitraires de /', car

alors y el // ont en commun 2 -L~ —*— i — /> -o élé-

ments au moins; ce nombre est égal à/>(/' ''■ 1 '■> donc il faul que /' et A aient une infinité d'éléments communs et, par suite, que/ se décompose.

Remarquons que si d o, on ne peut avoir, sauf pour p='6