CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES. igi

communes est que l'on puisse vérifier l'identité

flgl -±-f%gï + • • -^-fngn = O,

gt1 par exemple, étant un polynôme analogue à /", , et des degrés

p-2 +/>s + • ■ • + Pn — n* + 1 5 £2 + qz -+-...+ qn — n2 + i , . - • , par rapport aux (#), {y), • ■ ■', de plus cette identité devra être vérifiée par des solutions autres que celles qui se présentent naturellement, et qui résultent des relations telles que f,f2 — f1fi = o, où les seconds facteurs sont supposés développés. Les premiers membres de ces relations sont eux-mêmes liés par des relations du second ordre telles que

et ainsi de suite.

Ceci posé, on voit que l'on est amené à écrire que des formes telles que

xi ''2 "Vi/j ''12 •••./!' • • • ' OÙ

ai-+-as-t- . . . = jD2-f-/J3H-. . .4-jP»— »i-f-i, . . .,

sont liées par une relation linéaire, indépendante des relations du premier ordre citées plus haut.

Le nombre de ces formes est

: V ~ - (Pî-hp3-h. ■ .-f-/>«)(/>2 + />3-+-- • .-+-/>«— 0 • ■ ■( Pl-+-Pz--- ■ +P,l— »l + 2)

X ^ (?2-^?3-^----^?«)(72+<73 + •••+?«— l)---(^2-+-^3 + .-- -hÇn— ««-H»)

t/irl

le nombre de termes distincts dans chacune d'elles est

,,- - (Pl-^Pi-^- ■ --+-/>ra)(JPl-+-/>2-+- ■••-f-JP«— O- • .(jDl-+-i?s-*-. • .-+- Pn— Kl +2 ) X (?1-^ 9'2-i-- • •-+- qn){q\+- CJ.2+-. . .-hqn — I) • • • < ^1-i- </2 ~ • • • + ?/* — «2+2)

elles sont liées par des relations du premier ordre en nombre

^p (i>3-4-/>4-+-- :--t-pn) (/>S -+"/>*-+- ...+/>»— I). • -(i?3 + /?4 + -« .-t-JP«— 71!-+- 2)

x -g — (qz^-qi — .. -h- ?«)(?3 — ?*-!-•■ ■+ÎB-i)---(î3+îi+...+?/i-ft2+2)

KJ>. LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TEKNAIRE.

les premiers membres de ces relations sonl liés par des relations

du second ordre en nombre :

et ;i i u s i de suite, jusqu'à d< - relations de I ordre // - 2, en nombre

mi \ érifie sans peine que l'on ;i

alors l.i condition cherchée se présente sous la forme

I) étanl un déterminant d'ordre N lue des \, formes obtenues; I), étanl un déterminant d'ordre N, N tiré des relations du premier ordre; D2 étanl un déterminant d'ordre "V \, N lire des relations <\n second ordre; ei ainsi de suite.

Les coefficients des formes el de- relations sonl linéaires par rapporl aux coefficients de- formes données; le degré du résultant I» par rapporl à ces coefficients sera dune

ou bien, en faisant le calcul,

-/'i/'.' ■ • • /'", I '/«, '/"i -i ■ ■ ■ 7 ' n.—lt'n, ■!■■■' nt ■„ ■ ..■•■

chaque terme renfermant // i facteurs d'indices différents, dont /?, — i sont des /',.

Par rapport aux coefficienis de /', par exemple, on voit sans peine que le résultant K est d'un degré égal à la partie de la somme précédente qui ne contient aucun des nombres pl} y,, rt