LIVRE II

appartiennent à /sont déterminés par les équations

/i(?i^ — psX, "ai = 0, ,/ïQ5ia?-*-pïX, X) =0;

ces équations en (p) et ("À) sont vérifiées pour p2 = o et les valeurs considérées pour les (à), qui correspondent à(#); écrivant que ce système de solutions est double, on obtient l'équation de (E) en égalant à zéro l'un des déterminants lui'- de la matrice

x >/■. x dfi .</•. df±

En général, La série/" n'aura pas d'éléments cuspidaux; car il faudrait que l'équation de (£) de\ lui indéterminée. .Mais la série / aura des éléments doubles à éléments tangents distincts; pour les obtenir, écrivons que les équations/4 : :oet/2 = o, où les ) -ont les inconnues, uni deui racines corni es.

Leur résultant I!, de degré /-i'/j l'.'h Par rapport aus (#),

doit être nul: <le plus, la dérivée partielle de I! par rapport au

coefficient ac de i\ dans/ doil être nulle: celte dérivée esl de

degré p\{<Ji 1 /'j'/i par rapporl aui <./-). de sorte que ces

■ > àB

équations \\ = O el <> <»nl

racines commune-.

Mais ces équations sont encore vérifiées si J2 a une racinedouble appartenant à /', . d'après ce que l'on a dil sur la détermination des racines communes à deux équations; el aussi, si / et/, ont pour racine commune X4 = o. Dans le premier c;i-, on a simultanément

dA,

équations qui admettent >/u/'- '/■ — 1)~+-plÇt solutions.

Dans le second cas, les coefficients de ).'{' et ~/.V dans/, et/, sont nuls, ce qui donne p\p% solutions; mais ces solutions appar-

tiennent q{ fois aux équations R = o et

da

0; si, en elfet,