CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES

()v(,)), (X(2)), . . . sont les racines de f2 = o, on a R=/i(^)/i(^)/i(^3')--.=/i(^)R',

— =s(X'1'))?t/1(x^)/i(^)--- = a(1,)7'R'-/i(^(1,)Rff;

si X',,"=o est racine commune à /', et f2, R' et R7 ne s'annulent pas, et l'on voit Lien par ces formules que le système de valeurs (x)

correspondant est une solution multiple d'ordre q- pour R = o

t àR et -y- = o.

ox

Enfin, si un sjstème de valeurs (x) correspond à deux racines

communes pour/, = o et /2=o, c'est une solution double pour

les équations R = o et -r- =o, puisque toutes les dérivées de R

par rapport aux coefficients de /, cl f2 sont nulles. Donc, finalement, le nombre des éléments doubles de /sera

- S (pi qz-^-pz qi) [piiqz— O -+- p% qi] — ipip^q*— 0 — pi q\ — p\piqù ,

soit

p\ - — - t-piPïiqi— *){qt— i)+pl

188. On peut maintenant envisager une série f définie par les

équations

p #*=/;( Ai> >-2, À3),

les/'; étant des formes de même degré p, et les (/.) étant liés par

une relation telle que

o étant une forme de degré q.

La série /sera de degré pq.

L'équation de l'élément (£) tangent à f en [x) correspondant à (X) se trouve sans peine en écrivant que les séries en (),)

El ./ 1 ■+" fe fx+\lj 3=0, <p(X) = 0,

sont tangentes en l'élément ().); on a ainsi

ÇlaXi ç'dX, ç/<?xs

dtp ^'f* dcp '

^Xt ()à 2 <^À3

on a aussi 2£/X/=o, en désignant par (X) un élément de (ç), comme précédemment; et, par suite, l'équation cherchée est

Xj

àfi

dX,

àa

àft

àft

dis

ai !