CA

6>Xj

En général, la série y n'aura pas d'éléments cuspidaux; car il faul pour cela que l'équation précédente devienne indéterminée. Mais elle aura des éléments doubles ordinaires, correspondant à d.'iix systèmes de valeurs (X) el <'/' .

Eliminant les ()/) entre les équations

/.(X)/,(X')-/,(X)/1(X')=oJ

on obtienl un résultanl de degré >/>->/ par rapporl aux (X), qui contient en facteur évidemment p(à) el [fiO')]p'/'- ôtant ces facteurs, le quotient u'esl plus que de degré (p2 — 1)7; égalé ;'i zéro et combiné avec f X) : o, il détermine (p2 — \)>/- sys tèmes de \ ;< Uni ^ () 1. Mais parmi ces systèmes, il y en a encore à supprimer : en effet, les séries en - X' 1, définies par les deux pre mières équations précédentes, sont tangentes en leur élément commun (X), comme le montre un calcul facile, si le jacohien J[/i(^), /à(^)» /s(^)] est nul; les équations J = n el :=o déterminent i\oncZrj{p — 1) éléments (X) qui ne répondent pas à la question posée. Finalement, il nous reste (p2 — \)q- — ?>{[) — 1)7 valeurs des (X) correspondant à des éléments doubles de /, , el ceux-ci sont par suite en nombre (p*— i 7- - 3(/? — \)q

On j)cut ajouter' que si la série es - 0 a un élément double ou cuspidal, il lui correspond un élément de même nature pour/, en dehors des éléments doubles précédemment déterminés. On a

(P*— t)qi—Hp-l)ç (pq—l)(pq-i) (q-j)(q~l) .

donc le genre de/* est le même que celui de la série -s.