OI

< .elle proposition n'est démontrée que pour les cas généraux que nous avons envisagés; mais elle est toujours vraie.

189. De même, on peut définir / par les équations /,(>i, a?2, x%; Xi, X2, X3) = o (i = i, 2, 3), des degrés respectifs pi et qL par rapport au\ (je) et aux (X). La série/ est de degré S/>, q2q-.\ .

L'équation de l'élément tangent (£) à f en ( .r) correspondant aux valeurs (X) des paramètres est, comme au n" 187, obtenue en égalant à zéro l'un des déterminants de la matrice

àfi

àfi

àfi

df,

àx{

, x àf% d/t

a.r.2 ox3

àfi dX,

àfi àl3

y.r2 ax3

c>/3 dXi

àfi

àl.

àfi

En général, la sérieyn'a pas d'éléments cuspidaux. Elle a des éléments doubles ordinaires, que l'on détermine en écrivant que les équations f = o, où les (X) sont les inconnues, ont deux systèmes de solutions communes. En raisonnant comme au n° 187, on trouve que le nombre des éléments doubles de y est

, q%qi{q*qi — 0 ,

PiPi (qiq* — OC?!?;

On remarquera que, si l'on éliminait les (.r) entre les équations fi= o, on serait conduit à une série 'j(X) = o, qui correspond à la série y, élément à élément. Son degré serait ^q{ p>pi, et le nombre de ses éléments doubles

, Pl/H(PiP:\ — 0

(PlPi— l)(PlP3— 0 —

(pi— l)(pi — 2)"

Le genre des séries f et çp est par suite le même et égal à

Piq*9»

q'iPïPz

— - q\PiPi—

C'est encore là un théorème toujours vrai.

piqi(p-iqi-+- p*qi)

— 71PiÇ>-(/i — -