CHAPITRE V. — GENERATIONS DIVERSES DES SERIES TERNAIRES

des déterminants de la matrice

XlM + x ^- + x dA A A dA dA

dx\ dx-2 3 dx3 dli d\2 ^H-i d\j.2

■io3

La sériera des éléments doubles ordinaires dont le nombre est facile à trouver en raisonnant comme précédemment. C'est

-/>i(?2''3-i- qsrijiqors-,- q3r2 — i)-h...

+ P<LPz[{q\r»-^ q^ri — i)(2i7*3-+- q^ri — i) — (qi — 0(/'i — i)] -t-

Il est clair que l'on peut continuer de la même façon aussi loin qu'on le veut.

192. Nous avons déjà pu remarquer plusieurs fois l'analogie qui existe entre les formes ternaires à une seule série de variables et les formes binaires à deux séries de variables : nous venons de voir encore comment celles-ci peuvent définir des séries ternaires. Mais on peut en donner d'autres interprétations dans le domaine ternaire. Supposons donnée la forme

et imaginons que les (X) servent à définir les éléments (y) d'une série rationnelle, et de même que les (jjl) définissent les éléments (5) d'une autre série rationnelle qui peut d'ailleurs coïncider avec la première. La relation cp = o établit une correspondance entre les éléments (y) et (s); par suite les éléments (yz) qui contiennent deux éléments correspondants constituent une série ternaire qui se rapporte à la forme o.

Nous avons déjà vu une application de cette idée au n° 158; alors la forme cp était bilinéaire et les séries formées par les éléments (y) et (s) définis par les (X) et les (u.) étaient des éléments (£). Si l'on conserve cette dernière hypothèse, et si l'on suppose © des degrés p et q par rapport aux (1) et aux (jji), on voit que la série des éléments (yz) est en général une série de seconde espèce, de degré p -+- ry, admettant les éléments (£) formés par les (y) et les (z) comme multiples des degrés p et q. C'est ainsi que la théorie des séries ternaires cubiques ayant un élément

double et que celle des séries biquadratiques ayant deux éléments doubles se ramènent à celles des formes binaires linéo-quadralique et doublement quadratique.

Nous verrons plus loin d'autres applications dans lesquelles nous supposerons surtout que les (X) définissent une série quadratique.

Il suffit évidemment d'avoir indiqué cet ordre d'idées si fécond pour au'on puisse en apercevoir immédiatement des généralisations sur lesquelles il est inutile d'insister.

Remarquons encore l'importance qui s'attach'e, d'après ces considérations, c < > 1 1 > 1 1 1 « ■ d'après celles de tout ce Chapitre, à l'étude des invariants multiples <]<■> formes à plusieurs séries de variables, qui ne sont pas nécessairement toutes du même ordre.