X -^+X -^-f-Xs

dxy 2 <Xr2 C*J"3

c'est l'équation de l'élément tangent en (x) à la série f correspondant à (X); donc l'enveloppe touche toutes les séries/, dites aussi, par suite, enveloppées.

L'équation de l'élément tangent précédemment donnée devient indéterminée si l'on a

EL

dxv

àf Of

dx»

àx-.

ou bien si l'on a

dans ces cas, l'enveloppe a en (x) un élément multiple.

Dans le premier cas, l'enveloppée a elle-même en (x) un élément multiple. Si l'enveloppée / a toujours un élément multiple, le lieu de cet élément appartient à l'enveloppe ; en effet, les coordonnées (x) de cet élément sont des fonctions des (X) telles que 'on ait toujours

•/ = °' tet

on a donc aussi

-J- d\i-\- -{- <r/X2 = o, •> àf , àf

et, par suite,

df . àf

D'après ce qui précède, le lieu de cet élément multiple appar

2o6 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

tient au moins deux fois à l'enveloppe. On vérifierait aisément qu'il lui appartient deux fois si (x) est un élément double ordinaire sur /'; trois fois si (x) est constamment slalionnaire sur/; etc.

Dans le second cas, i /. ) est racine triple pour /*=— o; en raisonnant comme au n " 185, ou trouvera que (x) est stationnairc pour l'enveloppe, l'équation de 1 élément tancent unique étant obtenue en égalant à zéro l'un des déterminants tirés de la matrice

c'est-à-dire encore

. dj v df df

Remarquons encore que l'enveloppe peut contenir certaines enveloppées, ou des parties d'enveloppérs qui se décomposent :

, • • i r df df , • • î

cela arrivera si les inueiuni- • |ieii\rni devenir iilentuiue-.

ai i "/ . ' '

en loul nu en partie pour certaines valeurs des | / .

Dans le cas le plus général, il esl facile de déterminer les singularités de l'enveloppe fi'. Cette série aura un élémeni cuspidal si l'équation/ : o, où les / sonl les inconnus, a une racine triple, c'est-à-dire si l'on a à la fois

équations qui < • n t ■'</>-''/ 2 i solutions.

L'enveloppe g aura un élément double si les équations

àf df

ont deux racines communes, ce qui arrivera

PHq— 2)(a? — 3)

fois; mais de ce nombre il faut retrancher le nombre précédemment obtenu pour les éléments cuspidaux, puisque alors les équations considérées ont une racine double commune. Finalement,