CHAPITRE V. — GENERATIONS DIVERSES DES SERIES TERNAIRES
g a donc en général ip-(q — ?-)('7 — ^) éléments doubles ordinaires.
195. Si une série g0 est tangenle à loules les séries f de l'ensemble considéré, elle fait nécessairement partie de l'enveloppe g de ces séries. En effet, les équations
déterminent les (.1) comme fonctions des (a); on a alors constamment
-f- dxi -+- -J- dx, -+- - - dx3 -+- -f- dll 4- -rf- oft2 = o, yj?i oa?2 oJ"a CAt dÀ2
àffo 1 — — dx* ox»
àffo , dxs
el de plus, par hypothèse,
EL
dx\
EL
dx%
EL
dx3 #
àffo 0xr
àffo àx-2
àffo '
dx2
il reste donc -4— dh. -\ — .— cf).*= o; d'où, comme précédemment,
ÈL = ÈL = o
Si donc. o0 est la série langenlielle de /, et si 'bQ est la série langenlielle de l'enveloppe g de y, ou plutôt de la partie de g qui est tangenle à toutes les séries f, lorsque g est décomposable, on voit que <in fera partie de l'enveloppe des séries œ0.
Toutes les fois que l'enveloppée f est une série linéaire
a"i/i(Ài, Xs)H-ar2/ï(^i, * 2)-+- x-àf3(lu X2) = o,
les /} étant de degré ry, l'ensemble des /' détermine une série de seconde espèce d>, qui est rationnelle et de degré 17; la série tangentielle de à fait partie de l'enveloppe des f et coïncide avec elle si 'l n'a pas d'éléments stationnaires ; dans le cas contraire, il faut lui adjoindre les éléments stationnaires de <b pour retrouver l'enveloppe des/': si, en effet, (x) appartient à un tel élément, il existe deux séries/' confondues contenant (x). Ces résultats sont
2o8 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
d'accord avec ceux du § 2; car si d» a p éléments stalionnaires, la série tangentielle de ■!> est de de^ré ■> (q - i) — p, et le degré de l'enveloppe des /est ±(q — i).
19(5. Les enveloppées peuvent être définies par une équation
j\ ./-,. >■,. .,-,; }.., Xs, X3 =o,
des degrés p et q par rapport aux (.r) et aux | /. . ces dernières variables étant liées par une relation cpi X, . X2, X3 | -~o, de degré qf. Mois on trouvera l'enveloppe g des .-«'■i ies données en écrivant ■ pie les >érie> eu ■ /. ././-./. o, «s / = o, sont tangentes ; £• sera par suite du degré /"/ ' < "/ ■+■ q' — 3).
Les propriétés indiquées précédemmenl subsistent entièrement. Si, par exemple, on cherche l'enveloppe des éléments tangents à nue série donnée de degré p, donl les éléments i sonl définis par
on ;i pour l'équation d'une enveloppée
df df
el l'enveloppe esl de degré p\ • '»/' — 5 ) = p -+- '»/"/' 2) : elle se compose de la série donnée <i de ses éléments tangents stationnâmes.
Les singularités d une enveloppe définie comme nous venons de le dire sonl encore faciles à déterminer dans le cas le plus général. L'enveloppe £ aura un élémenl cuspidal si les séries f(x, X)=o et <p(X) =0, en /. . sonl osculatrices, c'est-à-dire ont un élémenl commun triple: de même g aura un élément double ordinaire si les mêmes séries /(#, X) -oet';(A) 0 sonl tangentes en deux éléments distincts. Ces problèmes sonl résolus plus loin d'une façon plus générale.
On remarquera (pie l'enveloppe^* peut encore être interprétée comme le lieu des {x) tels que les séries f(x, X) = o et o(X) = o, en (X) soient tangentes, ce qui peut mener souvent à des applications intéressantes.
