CHAPITRE V. — GENERATIONS DIVERSES DES SERIES TERNAIRES. 20g

lions

/(a?i, x,, a?3; Xi, X2; (xi, fx2) = o,

<p(Xi, X2; ni, [x2) = o,

où les notations sont claires par elles-mêmes. Il faudra évidemment, pour obtenir l'enveloppe g, éliminer les (À) et les (u.) entrey=o3 <5 = o, et l'une des équations

OL El EL AL

d\\ àA2 à\X\ d[Xi

do do do do [ i * t

ôly t>X2 d[j.i c*;jl2

Si /est des degrés/), q, r par rapport aux (x), aux (a) et aux (a ). et si çp est des degrés q' et /■', le degré de l'enveloppe g sera

2jo [ q' r' -+■ y ' ( /• — i) + r' ( q — i )].

Les singularités de »• se détermineront comme plus haut : la solution générale sera indiquée plus loin. Ou peut continuer de la même façon.

198. On obtient des généralisations de la notion d'enveloppe par les considérations suivantes.

Envisageons d'abord les deux équations

/2(iPl, x.2, x-^ Xj, A2, X3) = o,

et écrivons, en généralisant ce qui a été dit au n° 196, que ces deux séries en (a) sont tangentes. On définit ainsi une série g qui est l'enveloppe du système donné.

On peut dire que g = o est le lieu des (x) tels que si l'on établit une relation quelconque oÇ),) entre les (a), la série définie par ft = o , fi — o et cp = o et contenant (#) est toujours tangente à l'enveloppe g en cet élément, ou bien y a un élément multiple. Ceci résulte de l'équation de l'élément tangent donné au n° 189.

En posant

l'équation de l'élément tangent à g est obtenue en égalant à zéro An. — I. 14

«10 LIVRE II. — L\ (iEOMETRIE TERNAIRE.

un déterminant convenable du troisième ordre tiré de la matrice

dA

dxt

dxt

àX ;

àfx

dfx

àA

àft

dh

Il est facile de voir qu<- si les séries^ 1 1 f. en (a) sont osculatrices en un élément commun, les déterminants du second ordre tirés de la matrice

sonl tous nuls poui cel élément; et réciproquement.

Dont g aura un élément cuspidal dans ce cas; de j>l n-, g a évidemment un élément double ordinaire dès que les séries ft = o

et y2= o, "'ti - / . sonl doublement tangentes, c'est-à-dire quand les équations f\ o, /a= o et ot = o ont deux -ululions communes distinctes en /.).

Si fi est des degrés /-, et </, par rapport aux [x) et aux | "/ . st du degré pt q2(2q{ '/■■ ; - l'-'h ' V- y1 — 3). Déterminons d'abord ses éléments cuspidaux. On considérera les équations suivantes, qui n'ont pas une infinité de solutions communes.

fi o,

df "/,

■ 1 - «ijualions ont

p\qt(bqi+ 'i^î — 8)H-/»i/>a(Gyf -r- 127,7.,-:- 3grf

solutions; mais il faut supprimer, comme ne fournissant pas des